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행렬의 기초 - 행렬의 연산, 교환자, 항등 행렬수리물리 2023. 2. 14. 21:31
이번에는 물리학에서 사용하는 여러가지 행렬(matrix)의 연산을 정리해보자. 1. 행렬의 덧셈(addition of matrix) 행렬의 덧셈은 같은 크기의 행렬끼리만 가능하다. 다시 말해서 \( m \times n \) 행렬은 \( m \times n \) 행렬하고만 덧셈이나 뺄셈이 가능하다. 전체적인 연산 법칙은 벡터(vector)와 같이 성분끼리 계산하면 된다. 덧셈과 뺄셈은 서로 동등한 연산이므로 함께 정리하면 다음과 같다,$&\begin{matrix} A \pm B & = & \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots..
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라그랑주 역학 - 달랑베르 원리고전역학 2023. 2. 14. 19:00
선행해야 할 내용 뉴턴의 상대성... 갈릴레이 변환과 기준틀이란? 뉴턴 역학의 기초 - 뉴턴의 운동 3법칙(작용-반작용의 법칙) : https://boringphys.tistory.com/14 지난 작용-반작용의 법칙(action-reaction law) 글에서 마지막에 가속도(acceleration)를 어떻게 측정할 것이냐에 대 boringphys.tistory.com 라그랑주 역학 - 일반화된 좌표와 제약 조건 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용해서 역학(dynamics)을 기술하는 방식을 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)이라고 한다. 뉴턴 제 2법칙에서 정의된 힘(force)을 기반으로 방정식을 짜는 boringphys.tistory.com 우리..
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중첩의 원리와 선형성전자기학 2023. 2. 12. 23:40
전자기학을 전개하기 이전에 전자기학의 가장 중요한 믿음인 중첩의 원리(principle of superposition)을 소개하려고 한다. 중첩의 원리는 비단 전자기학에서만 사용되는 얘기는 아니라 물리학 전반에서 중요하게 사용된다. 먼저 전하(charge)를 띠고 있는 입자가 \( N \)개 있는 계(system)를 생각해보자. 이 물리계에 전하 \( Q \)를 띤 시험 입자(test particle)를 추가해보자. 어디에 추가하는가는 중요하지 않다. 이제 새롭게 들어간 시험 입자에 작용하는 전기적인 힘을 생각해보자. 먼저 1번 입자가 시험 입자에 가하는 힘(force)을 \( \vec{F}_1 \)이라고 하자. 일반화해서 \( k \)번째 입자가 가하는 힘은 \( \vec{F}_k \)이다. 이제 시험..
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행렬의 기초 - 행렬과 행렬의 곱셈수리물리 2023. 2. 12. 22:19
이번 글에서는 벡터(vector)들의 연산을 효율적으로 표현하기 위해서 행렬(matrix)를 정의하고 그 성질을 살펴볼 예정이다. 먼저 행렬의 정의는 숫자나 함수(function), 연산자(operator)들의 2차원 배열(array)을 의미한다. 사각 격자에 원하는 대상을 집어넣으면 된다. 행렬을 맨처음 만들게 된 계기는 사실 연립 방정식(simultaneous equation)을 풀기위해서 였다. 다음과 같은 두 개의 연립 방정식을 생각해보자.$$ a x + b y = m \tag{1}$$$$ c x + d y = n \tag{2}$$ 평범하게 연립 방정식을 푸는 방법은 두 식 중 원하는 식을 한 변수에 대한 식으로 고친 다음 나머지 식에 대입하는 방식을 이용한다. 하지만 변수의 개수가 많아지면 이 ..
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자유 낙하 운동과 종단 속도고전역학 2023. 2. 9. 22:37
이번 글에서는 중력(gravitation) 아래에서 물체의 운동 방정식(equation of motion)을 세우고 이를 풀어보는 연습을 살펴보자. 먼저 질량(mass)이 \( m \)인 물체가 공기 저항을 받지 않는 경우, 자유 낙하 운동(free fall motion)을 고려해보자. 중력의 영향만 있으므로 뉴턴 제 2법칙(Newton's second law)에 의해 다음과 같이 운동 방정식을 세울 수 있다. $$\vec{F} = m \vec{a} = m \frac{d^2 \vec{r}}{d t^2} = m \left( \ddot{x} (t) \hat{x} + \ddot{y} (t) \hat{y} + \ddot{z} (t) \hat{z} \right) = - m g \hat{z} \tag{1}$$ 여기..
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직교 기저와 그람-슈미트 과정양자역학 2023. 2. 9. 19:02
지난 글에서 힐베르트 공간(Hilbert space)에서의 벡터에 대해 다뤘었다. 그러면서 벡터의 내적(ineer product)을 통해 직교성(orthogonality)를 다뤘었다. 벡터를 성분(component)으로 표현할 경우 그 기준이 되는 기저(basis)들을 수직한 기저로 잡는 편이 계산에 훨씬 용이하다. 내적 같은 계산의 경우 서로 다른 방향 기저끼리의 내적이 \( 0 \)이 되버리기 때문이다. 이번 글에서는 어떤 임의의 기저를 줬을 경우 이 기저를 직교 기저로 바꾸는 방법에 대해서 다뤄보려고 한다. 이 방법을 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt proceudure)라고 한다. 사실 양자역학(quantum mechancis)을 하면서 이 과정을 직접적으로 거칠 일은 없다. 이미 직교화 ..
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함수 급수와 균등 수렴수리물리 2023. 2. 8. 20:27
이번에는 앞으로 함수를 근사(approximation)하는데 있어서 유용한 함수 급수(series of function)를 다뤄보자. 기존에 수열(sequence)을 어떤 문자와 순서를 통해서 \( a_n \)과 같은 식으로 표현했듯이 이번엔 함수를 \(f_n (x)\)로 표현해보자. 일반적으로 \(n\)이 무한한 무한 수열(infinite series)를 생각한다. 이제 이 수열이 수렴(convergence)할 수 있는지 생각해보자. 일반적인 수열과 결정적으로 다른 점은 특정 \( n \) 값을 정해놓고 생각하더라도 \( x \)에 따라서 나오는 값이 다르다. 즉, \( x \)에 따라서 수렴할 수도 발산(divergence)할 수도 있다. 수열 자체를 분석할 수도 있겠지만 사실 여러개의 함수를 분석..
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조화 급수와 리만 제타 함수수리물리 2023. 2. 4. 19:41
이번에는 한 가지 재밌는 급수에 대해서 다뤄보려고 한다. 바로 조화 급수(Harmonic series)과 여기서 좀 더 일반화 시킨 급수 형태인 리만 제타 함수(Riemann zeta function)다. 조화 급수는 물리 문제에서 간간히 등장하며 리만 제타 함수의 경우 양자역학(quantum mechanics)에서 특정한 퍼텐셜(potential) 아래에서 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)을 풀 때, 좀머펠드 근사(Sommerfeld expansion) 등에서 등장한다. 리만 제타 함수는 그 해에 대한 문제는 아직까지 풀리지 못한 밀레니엄 7대 난제에 속하기 때문에 자세한 접근 방법 보다는 정의와 몇 가지 재밌는 성질에 대해서 다룬다. 먼저 조화 급수를 보자. 조화 수열은 다음과..