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테일러 급수와 매클로린 급수수리물리 2023. 3. 15. 01:11
지난 글에서 다음과 같이 어떤 거듭제곱 급수(power series)로 쓰여진 함수에 대해서 다뤘었다. 사실 이는 다항식(polynomial)을 의미한다.$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots \tag{1}$$ 어떤 함수를 거듭제곱 급수 형태로 쓸려고 할 때 급수의 계수(coefficient)를 어떻게 설정할 것이냐가 중요하다. 유일성 정리(uniqueness theorem)에 의해 급수의 계수는 하나로 정해지는데 그 계수를 구하는 방법 중 가장 많이 쓰는 방법인 테일러 전개(Taylor expansion)에 대해 다뤄보자. 먼저 유일성 정리의 증명 과정에서 함수가 균등 수렴(uniform convergence)한다..
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양자역학의 기초 - 행렬과 연산자양자역학 2023. 3. 12. 03:51
이번에는 양자역학(quantum mechanics)을 구성하는 공간인 힐베르트 공간(Hilbert space)에서 힐베르트 공간의 원소인 벡터(vector)들이 어떻게 서로간에 관계를 가지는지 이에 대한 연산은 어떤 성질을 띠는지 알아보자. 우리가 지난 글에서부터 어떤 \( n\)차원 열 벡터(column vector)를 폴 디랙(Paul Dirac)의 표현법을 받아들여 \( n \)차원 켓 벡터(ket vector)로 표현했었다. $$ \left| V \right> = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \tag{1}$$ 이제 이 벡터에 어떤 계산을 가해서 힐베르트 공간에 있는 또다른 벡터 \( \left| U \right> \)로 바..
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행렬의 기초 - 역행렬수리물리 2023. 3. 10. 17:17
이전에 행렬(matrix)의 곱셈에 대한 항등원(identity)를 다뤘었다. 이 항등원을 단위 행렬(unit matrix)라고 부르고 대각 성분(diagonal element)가 전부 \(1\)이고 나머지 성분은 \( 0 \)인 행렬이었다. 항등원이 존재하기 때문에 행렬의 곱셈에 대한 역원(inverse)가 존재하는데 문제는 이 역원을 쉽사리 구할 수 없다. 그래서 긴 시간동안 역원을 유도하기 위한 성질들을 다뤘었다. 연산에서 역원이라는 것은 어떤 행렬 \( A \)와 \( A \)의 역원 \( A^{-1} \)이 존재해서 \( A \)와 \( A^{-1}\)을 곱할 경우 단위 행렬이 나와야 하는 행렬을 의미한다.$$ A A^{-1} = I \tag{1}$$ 식 (1)은 행렬 곱셈의 특성상 정사각 행..
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행렬식의 성질과 표현 - 크래머 법칙수리물리 2023. 3. 10. 15:50
이번엔 행렬식(determinant)을 이용해서 선형 연립 방정식(linear simultaneous equation)을 푸는 방법인 크래머 법칙(Cramer's rule)을 알아보자. 먼저 \( n \)개의 변수(variable)로 이루어진 1차 방정식들의 경우 연립해서 모든 변수들의 해를 구하기 위해선 또다른 \( n - 1\)개의 1차 방정식들이 더 필요하다. 그래서 총 \( n \)개의 1차 방정식이 있어야 연립 방정식을 풀 수 있다. 따라서 다음과 같은 \( n \)개 변수로 이루어진 \( n \)개의 식을 만들 수 있다.$$ \begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n & = & m_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} ..
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가우스 법칙의 유도전자기학 2023. 3. 7. 16:44
지난번에 단일 하전 입자(charged particle)가 만드는 전기장(electric field)을 다뤘었다. 이번엔 이 전기장을 다루는데 아주 유용한 방법인 가우스 법칙(Gauss' law)를 다뤄보자. 먼저 전하량(electric charge)이 \( q \)인 입자가 원점에 있다고 가정해보자. 그리고 이 입자를 둘러싸고 있는 어떤 닫힌 곡면(closed surface)을 생각해보자. 이 곡면을 가우스 곡면(Gauss surface)라고 부르며 모양은 아무렇게나 잡아도 상관 없다. 적어도 원리적으로는 전하를 잘 둘러싸기만 한다면 어떠한 문제도 발생하지 않는다. 이제 가우스 곡면위의 한 점을 잡아보자. 이 점과 전하 사이의 거리는 \( r \)이라고 하자. 그럼 이 점에서 곡면에 접하는 접평면(ta..
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행렬식의 성질과 표현 - 부가적인 성질수리물리 2023. 3. 6. 02:30
이번 글에서는 좀 더 부가적인 행렬식(determinant)의 성질에 대해서 정리해보도록 하겠다. 1. 행렬식의 스칼라 곱셈 다음과 같이 \( n \times n \) 행렬(matrix) \( A \)의 행렬식을 생각해보자. 그리고 이 행렬식에 어떤 상수(constant) \( c \)를 곱해보자.$$ \det A = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{1}$$$$ c \det A = c \begin{vmatrix} A_..
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2차원 등가속도 직선 운동 - 포물선 운동고전역학 2023. 3. 5. 02:29
이번엔 아주 간단한 2차원 등가속도 직선 운동(linear motion with constant acceleration) 문제로 일정한 중력(gravitation) 아래에서 움직이는 물체를 다뤄보자. 먼저 우리는 물체가 속력(speed) \( v_0 \)로 지표면과 \( \theta \) 각도를 이루는 방향으로 쏘아진 상황을 가정해보자. 그렇다면 이 물체의 속도 벡터(velocity vector)는 다음과 같이 직교(orthogonal) 성분으로 분해할 수 있다. $$ \vec{v} = v_0 \cos \theta \hat{x} + v_0 \sin \theta \hat{y} \tag{1}$$ 처음 출발 지점을 원점으로 잡았다. 이제 물체에 작용하는 힘(force)을 분석해보자. 중력은 지표면에 직교(pe..
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행렬식의 성질과 표현 - 행렬 성분의 교차수리물리 2023. 3. 2. 01:43
다음과 같은 행렬식(determinant)을 생각해보자.$$ \det A = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{1}$$ 만약 행렬(matrix) \( A \) 두 행(column) 또는 열(row)의 자리를 바꾼 행렬의 행렬식을 생각해보자. 이러한 변화를 준 행렬을 \( A^{\prime} \)이라 하면 다음과 같은 모습을 의미하게 된다.$$ \det A^{\prime} = \begin{vmatrix} A_{12} & A..