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[기초 군론] 사상과 군수리물리/기초 군론 2025. 3. 21. 02:41
이번 토픽에서는 군론(group theory)에 대해서 다뤄보자. 군론이 물리학에서 사용되는 이유는 물리적 대상에 대한 어떤 변환(transformation)과 그에 따른 대칭성(symmetry)와 그 외에 기본적인 특성을 이해하는데 큰 도움이 되기 때문이다. 군(group)에 대한 가장 원시적인 아이디어는 변환군(transformation group)이었다. 변환군을 이해하기에 앞서 먼저 필요한 내용은 사상(mapping)이다. 사상이란 어떤 집합 $X$와 $Y$ 사이의 대응 관계(correspondece relation)를 나타내는 과정의 총칭을 의미하며 집합 $X$에서 집합 $Y$로의 사상 $f$는 다음과 같이 표현한다.$$f : X \rightarrow Y \tag{1}$$ 이는 집합 $X$ 안..
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구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ③ 편각 성분전자기학 2025. 2. 4. 13:31
지난번 라플라스 방정식(Lapalace equation) 풀이에서 반지름(radius)과 방위각(azimutal angle) 성분을 풀었었다. 이번에는 남은 편각(polar angle)에 대해서 다뤄보자.$$\frac{1}{P (\theta) \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) - \frac{m^2}{\sin^2 \theta} = - l (l+1) \tag{1}$$ 이 식은 다음과 같이 변형시키면 풀기 편하다.$$\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \..
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구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ② 방위각과 반지름 성분전자기학 2025. 1. 10. 01:04
지난번 글에서 구면 좌표계(spherical coordinate)에서의 라플라스 방정식(Laplace equation)을 변수 분리법(separation of variable)을 이용해 다음과 같은 방정식을 만들었었다.$$ \frac{r^2 \sin^2 \theta}{U(r)} \frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} + \frac{\sin \theta}{P(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{Q (\phi)} \frac{\partial^2 Q(\phi)}{\partial \phi^2} = 0 \..
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1차원 단순 조화 진동자 문제 - 연산자 풀이고전역학 2025. 1. 5. 23:37
지난번 글에서 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 가설 풀이(ansatz) 방법을 이용해서 풀었다. 이번에는 연산자(operator)를 이용한 풀이 방법을 간단하게 다뤄보자. 일단 이번에도 풀어야 하는 미분 방정식은 지난번과 마찬가지로 다음과 같다.$$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \tag{1}$$이때 $\omega_0 = \frac{k}{m}$이다. 이를 미분 연산자(differential operator)의 형태로 쓰면 다음과 같다.$$\frac{d^2}{dt^2} x(t) + \omega_0^2 x(t) = \left( \frac{d^2}{dt^2} + \omega_0^2 \right) x(t) = 0 \tag{2}$$ 이 연산자를 마치 ..
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1차원 단순 조화 진동자 문제 - 가설 풀이(Ansatz)고전역학 2024. 12. 14. 17:07
이번엔 훅의 법칙(Hooke's law)를 이용한 물리계 문제를 풀어보자. 특히 오로지 훅의 법칙에 의한 복원력(restoring force) 만 있는 경우를 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator)라고 부른다. 이 예시는 간단하게 풀 수 있는 문제지만 물리학에서 아주 강력한 효과를 발휘한다. 수많은 물리 문제의 경우 평형 상태(equilibrum)에서 외부 힘에 의해 약간 변하는 경우를 생각하기 때문에 어떤 원인에 의해서 발생했던 간에 그 효과는 단순 조화 진동자로 근사(approximation)하거나 애초에 단순 조화 진동자 문제 형태를 가진다. (실제로 단순 조화 진동자 형태로 쓸 수 없다면 문제는 매우 어려워지거나 풀지 못한다.) 이번 글에서는 특히나 물리학에서 광범위하..
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구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ① 변수 분리법전자기학 2024. 6. 9. 22:06
지난번 글에서 스칼라 퍼텐셜(scalar potential)이 푸아송 방정식(Poisson's equation)을 만족함을 보였었다. 그와 동시에 전하 분포(charge distribution)의 바깥 공간에서 푸아송 방정식은 라플라스 방정식(Laplace equation)이 됐었다. 어떤 전하 분포가 멀리 떨어진 한 지점에서 만드는 스칼라 퍼텐셜은 라플라스 방정식을 이용해 구하는 경우가 많다. 특히 문제의 상황이 어떤 대칭성(symmetry)을 가지고 있는가에 따라 퍼텐셜의 형태가 결정되는데 우선 구면 좌표계(spherical coordinate)에서 먼저 다뤄보자. 최종적인 목표는 가장 일반적인 형태의 구면 대칭성(spherical symmetry)를 가진 시스템에서 라플라스 방정식의 일반해(gene..
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고유값 문제와 풀이 : 특성 방정식과 축퇴수리물리 2024. 5. 28. 22:48
이번 글에는 물리학에서 아주 중요하게 사용되는 방정식의 한 형태인 고유값 방정식(eigenvalue equation)를 다룬다. 여기서 고유를 의미하는 eigen은 독일어에서 나왔다. 고유값 문제는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 어떤 임의의 선형 연산자(linear operator) $\hat{O}$에 대해 다음과 같은 문제를 의미한다.$$\hat{O} \psi = \lambda \psi \tag{1}$$여기서 $\psi$는 어떤 함수를 $\lambda$는 임의의 상수를 의미한다. 식 (1)을 해석해보면 연산자 $\hat{O}$에 대해 변하지 않는 함수 $\psi$가 존재한다는 뜻이다. 다만 그 함수의 스케일은 $\lambda$만큼 변하긴 하지만 어쨋든 함수 $\psi$는 유지된다. 식 (1..
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리만 적분과 리만합수리물리 2024. 5. 28. 01:17
이번에는 구적법(quadrature)에서 사용했던 개념을 진화시켜 리만합(Riemann sum)과 리만 적분(Riemann integral)을 생각해보자. 지난 글에서는 원의 넓이를 구하는 방법으로 원을 잘게 쪼개서 재배열해서 더해 직사각형(rectangle) 모양을 만들어 직사각형의 넓이를 구하는 방식을 소개했었다. 이를 확장시켜서 어떤 둥근 곡선(curve)을 포함하는 도형의 넓이를 구할 때는 해당 도형을 잘게 쪼개서 쪼갠 넓이를 하나하나 구해서 더하는 방식으로 구한다. 이제 우리는 이러한 도형의 문제를 좌표 평면상에서 곡선 그래프와 $x$축 사이를 둘러싸고 있는 밑넓이를 구하는 문제로 바꿔서 다뤄보자. 이는 도형을 함수화시켜서 더욱 쉽게 다루고자하는 의도로 해석하면 좋다. 이제 넓이를 구하기 위해..