행렬의 기초 - 행렬의 연산, 교환자, 항등 행렬

이번에는 물리학에서 사용하는 여러가지 행렬(matrix)의 연산을 정리해보자.

 

1. 행렬의 덧셈(addition of matrix)

 

행렬의 덧셈은 같은 크기의 행렬끼리만 가능하다. 다시 말해서 $m\times n$ 행렬은 $m\times n$ 행렬하고만 덧셈이나 뺄셈이 가능하다. 전체적인 연산 법칙은 벡터(vector)와 같이 성분끼리 계산하면 된다.

 

덧셈과 뺄셈은 서로 동등한 연산이므로 함께 정리하면 다음과 같다,

$

 

 

2. 행렬의 스칼라 곱(scalar multiplication of matrix)

 

벡터의 스칼라 곱에서와 같이 행렬의 스칼라 곱도 행렬의 각 성분에 곱하는 스칼라를 일괄적으로 곱해주면 된다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& aA=a\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{m1}& A_{m2}& \cdots & A_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a{A}_{11}& a{A}_{12}& \cdots & a{A}_{1n}\\ a{A}_{21}& a{A}_{22}& \cdots & a{A}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a{A}_{m1}& a{A}_{m2}& \cdots & a{A}_{mn}\end{array}\right)\end{array}$$

 

 

3. 행렬의 곱셈(multiplication of matrix)

 

행렬의 곱셈은 지난 글에서 다뤘던 바 있었다. 이번엔 행렬의 곱셈의 일반적인 성질에 대해서만 살짝 다뤄보려고 한다.

 

가장 중요한 성질은 행렬의 곱셈은 서로 교환 법칙(commutative)이 성립하지 않는다. 즉, 곱셈 순서가 중요하다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& AB\ne BA\end{array}$$

 

식 (2)의 성질은 직접 증명할 수도 있지만 좀 더 쉽게 접근하기 위해 $AB$의 $i$행 $j$열 성분이 $BA$의 $i$행 $j$열 성분과 다름을 통해서 반례(counter example)를 제시해 증명한다.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& (AB{)}_{ij}=\sum _k{A}_{ik}{B}_{kj}\ne \sum _k{B}_{ik}{A}_{kj}=(BA{)}_{ij}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \text{since}{A}_{ik}\ne B_{ki}\text{and}{B}_{kj}\ne A_{kj}\end{array}$$

 

대부분의 $A$, $B$ 행렬에선 식 (4)가 성립하나 우연치 않게도 식 (5)의 조건이 $\ne$가 아니라 $=$인 특수한 $A$와 $B$를 선택할 수도 있다. 이런 경우 두 행렬은 교환할 수 있다고 한다.

 

 

3. 교환자(commutator)

 

따라서 두 행렬의 곱셈이 교환하는 경우가 있다. 그 경우 식 (4)은 다음과 같이 변형된다.

$$\begin{array}{}\text{(6)}& AB=BA\Rightarrow AB-BA=0\end{array}$$

 

식 (6)의 왼쪽 식을 다음과 같이 새로운 연산자(operator)를 정의해서 표현하자.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& [A,B]=AB-BA=0\end{array}$$

 

식 (7)에서 사용한 $[]$ 연산자를 교환자라고 부른다. 이 연산자는 양자역학(quantum mechanics)에서 유별나게 많이 사용된다. 연산자의 정의 상 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(8)}& [A,B]=AB-BA=-(BA-AB)=-[B,A]\end{array}$$

 

두 행렬이 교환하는 경우는 식 (7)처럼 표현하지만 교환하지 않는 경우는 다음과 같이 표현된다.

$$\begin{array}{}\text{(9)}& [A,B]\ne 0\end{array}$$

 

 

4. 반교환자(anti-commutator)

 

이번엔 교환자를 응용해서 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다. 이 연산자를 반교환자라고 부른다.

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \{A,B\}=AB+BA\end{array}$$

 

간혹 $A$와 $B$가 반교환(anti-commute)하는 행렬들이 있으며 다음과 같은 성질을 지닌다.

$$\begin{array}{}\text{(11)}& AB=-BA\end{array}$$ 

 

 

5. 행렬 덧셈에 대한 항등 행렬(identity matrix)

 

행렬의 덧셈과 곱셈 연산에 대해서도 항등원(identity element)과 역원(inverse)을 생각해 볼 수 있다. 먼저 덧셈에 대한 항등원 $I_{+}$는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

$$\begin{array}{}\text{(12)}& A+I_{+}=A\end{array}$$

 

이제 $A$ 행렬을 이항한다음 식 (1)에서 정의한 행렬의 뺄셈을 사용하면 항등원은 모든 성분이 $0$인 행렬임을 알 수 있다. 이런 행렬을 따로 영행렬(zero matrix)라고 부른다.

$$\begin{array}{}\text{(13)}& I_{+}=A-A=0=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right)\end{array}$$

 

따라서 덧셈에 대한 역원은 행렬의 모든 성분에 $-1$을 스칼라 곱한 행렬임을 알 수 있다.

 

행렬의 기초 - 행렬과 행렬의 곱셈