행렬의 기초 - 행렬의 연산, 교환자, 항등 행렬

이번에는 물리학에서 사용하는 여러가지 행렬(matrix)의 연산을 정리해보자.

 

1. 행렬의 덧셈(addition of matrix)

 

행렬의 덧셈은 같은 크기의 행렬끼리만 가능하다. 다시 말해서 \( m \times n \) 행렬은 \( m \times n \) 행렬하고만 덧셈이나 뺄셈이 가능하다. 전체적인 연산 법칙은 벡터(vector)와 같이 성분끼리 계산하면 된다.

 

덧셈과 뺄셈은 서로 동등한 연산이므로 함께 정리하면 다음과 같다,

$&\begin{matrix} A \pm B & = & \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1n} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ B_{m1} & B_{m2} & \cdots & B_{mn} \end{pmatrix} \\ & = & \begin{pmatrix} A_{11} \pm B_{11} & A_{12} \pm B_{12} & \cdots & A_{1n} \pm B_{1n} \\ A_{21} \pm B_{21} & A_{22} \pm B_{22} & \cdots & A_{2n} \pm B_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m1} \pm B_{m1} & A_{m2} \pm B_{m2} & \cdots & A_{mn} \pm B_{mn} \end{pmatrix} \end{matrix} \tag{1}$$

 

 

2. 행렬의 스칼라 곱(scalar multiplication of matrix)

 

벡터의 스칼라 곱에서와 같이 행렬의 스칼라 곱도 행렬의 각 성분에 곱하는 스칼라를 일괄적으로 곱해주면 된다.

$$ a A = a \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m1} & A_{m2} & \cdots & A_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a A_{11} & a A_{12} & \cdots & a A_{1n} \\ a A_{21} & a A_{22} & \cdots & a A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a A_{m1} & a A_{m2} & \cdots & a A_{mn} \end{pmatrix} \tag{2}$$

 

 

3. 행렬의 곱셈(multiplication of matrix)

 

행렬의 곱셈은 지난 글에서 다뤘던 바 있었다. 이번엔 행렬의 곱셈의 일반적인 성질에 대해서만 살짝 다뤄보려고 한다.

 

가장 중요한 성질은 행렬의 곱셈은 서로 교환 법칙(commutative)이 성립하지 않는다. 즉, 곱셈 순서가 중요하다.

$$ AB \neq BA \tag{3}$$

 

식 (2)의 성질은 직접 증명할 수도 있지만 좀 더 쉽게 접근하기 위해 \( AB \)의 \( i \)행 \( j \)열 성분이 \( BA \)의 \( i \)행 \( j \)열 성분과 다름을 통해서 반례(counter example)를 제시해 증명한다.

$$ (AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj} \neq \sum_k B_{ik} A_{kj} = (BA)_{ij} \tag{4}$$

$$ \text{since} \; A_{ik} \neq B_{ki} \; \text{and} \; B_{kj} \neq A_{kj} \tag{5}$$

 

대부분의 \( A \), \( B \) 행렬에선 식 (4)가 성립하나 우연치 않게도 식 (5)의 조건이 \( \neq \)가 아니라 \( = \)인 특수한 \( A \)와 \( B \)를 선택할 수도 있다. 이런 경우 두 행렬은 교환할 수 있다고 한다.

 

 

3. 교환자(commutator)

 

따라서 두 행렬의 곱셈이 교환하는 경우가 있다. 그 경우 식 (4)은 다음과 같이 변형된다.

$$ AB = BA \Rightarrow AB - BA = 0 \tag{6}$$

 

식 (6)의 왼쪽 식을 다음과 같이 새로운 연산자(operator)를 정의해서 표현하자.

$$[A, B] = AB - BA = 0 \tag{7}$$

 

식 (7)에서 사용한 \( [ ] \) 연산자를 교환자라고 부른다. 이 연산자는 양자역학(quantum mechanics)에서 유별나게 많이 사용된다. 연산자의 정의 상 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$ [A, B] = AB - BA = -(BA - AB) = -[B, A] \tag{8}$$

 

두 행렬이 교환하는 경우는 식 (7)처럼 표현하지만 교환하지 않는 경우는 다음과 같이 표현된다.

$$ [A, B] \neq 0 \tag{9}$$

 

 

4. 반교환자(anti-commutator)

 

이번엔 교환자를 응용해서 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다. 이 연산자를 반교환자라고 부른다.

$$ \{ A, B \} = AB + BA \tag{10}$$

 

간혹 \( A \)와 \( B \)가 반교환(anti-commute)하는 행렬들이 있으며 다음과 같은 성질을 지닌다.

$$ AB = - BA \tag{11}$$ 

 

 

5. 행렬 덧셈에 대한 항등 행렬(identity matrix)

 

행렬의 덧셈과 곱셈 연산에 대해서도 항등원(identity element)과 역원(inverse)을 생각해 볼 수 있다. 먼저 덧셈에 대한 항등원 \(I_{+}\)는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

$$ A + I_{+} = A \tag{12}$$

 

이제 \( A \) 행렬을 이항한다음 식 (1)에서 정의한 행렬의 뺄셈을 사용하면 항등원은 모든 성분이 \( 0 \)인 행렬임을 알 수 있다. 이런 행렬을 따로 영행렬(zero matrix)라고 부른다.

$$ I_{+} = A - A = 0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \tag{13}$$

 

따라서 덧셈에 대한 역원은 행렬의 모든 성분에 \( -1 \)을 스칼라 곱한 행렬임을 알 수 있다.

 

행렬의 기초 - 행렬과 행렬의 곱셈