직교 기저와 그람-슈미트 과정

지난 글에서 힐베르트 공간(Hilbert space)에서의 벡터에 대해 다뤘었다. 그러면서 벡터의 내적(ineer product)을 통해 직교성(orthogonality)를 다뤘었다.

 

벡터를 성분(component)으로 표현할 경우 그 기준이 되는 기저(basis)들을 수직한 기저로 잡는 편이 계산에 훨씬 용이하다. 내적 같은 계산의 경우 서로 다른 방향 기저끼리의 내적이 \( 0 \)이 되버리기 때문이다.

 

이번 글에서는 어떤 임의의 기저를 줬을 경우 이 기저를 직교 기저로 바꾸는 방법에 대해서 다뤄보려고 한다. 이 방법을 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt proceudure)라고 한다.

 

사실 양자역학(quantum mechancis)을 하면서 이 과정을 직접적으로 거칠 일은 없다. 이미 직교화 된 벡터 공간(vector space)이라고 생각하고 문제를 많이 풀 것이기 때문이다.

 

그래서 이번 글은 디랙 표기법(Dirac notation)을 통해 그람-슈미트 과정을 소개하는 정도로 생각하자.

 

 

먼저 임의의 기저들로 이루어진 브라 벡터 공간(bra vector space)을 생각해보자. 그 기저들을 모아서 다음과 같은 집합으로 표현한다.

$$\left\{ \left| e_1 \right>, \left| e_2 \right>, \cdots , \left| e_n \right> \right\} \tag{1}$$

 

이제 직교하는 기저들을 잡아야 하는데 기준이 필요하다. 다차원 기저들을 잡았는데 이들의 직교성을 판단하기 위해선 어떤 한 기저를 선택해서 그 기저와 다른 기저를 비교해서 서로 직교하는지 안 하는지 판별하면 된다.

 

반대로 이를 이용해 한 기저를 잡아서 이 기저를 중심으로 여기에 수직인 기저들을 차례차례 잡아나가는 과정을 사용하려고 한다. 기준이 될 기저는 아무거나 잡아도 되지만 편의상 1번 기저를 잡아보자.

 

 

식 (1)의 기저들을 이용해 직교화 된 벡터 공간의 기저 집합(basis set)을 다음과 같이 \( \prime \)을 첨가해서 표현하자.

$$ \left\{ \left| e_1^{\prime} \right>, \left| e_2^{\prime} \right>, \cdots, \left| e_n^{\prime} \right> \right\} \tag{2}$$

 

1번 기저를 기준으로 잡았으므로 다음과 같이 표현해보자. 힐베르트 공간이므로 노름(norm)은 켓 벡터(ket vector)를 통해서 정의한다.

$$\left| e_1^{\prime} \right> = \frac{\left| e_1 \right>}{|| e_1 ||} \tag{3}$$

$$||e_1|| = \sqrt{\left< e_1 \right| \left. e_1 \right>} \tag{4}$$

 

직교화 된 기저 공간의 첫 번째 기저는 기준이 된 기저에 크기를 나눠서 만들어낸다. 사실 \( \left| e_n \right>\)들은 벡터 공간의 기저를 잡았기 때문에 크기는 \( 1 \)이 됨을 알 수 있다. 하지만 일반화를 위해서 식 (3)과 같이 쓰자.

 

 

이번엔 식 (1)의 공간에서 \( \left| e_1 \right> \)이 아닌 또 다른 기저를 가져와보자. 편의를 위해서 2번 기저 \( \left| e_2 \right> \)를 가져와보자. 그러면 이 기저는 \(\left| e_1^{\prime} \right>\) 방향 성분이 들어가 있을 수 있다.

 

주의해야 할 점은 우리가 처음 고른 기저는 직교 기저가 아니라 마구잡이로 잡은 기저란 점이다. 그래서 \(\left| e_2 \right>\)에는 \( \left| e_1^{\prime} \right> \) 기저 방향이 들어갈 수도 들어가지 않을 수도 있다.

 

유클리드 벡터(Euclidean vector)를 빗대서 설명하자면 1번째 기저를 \( x \)축이라고 했을 경우 2번째 기저가 \( y = x \) 직선에 평행한 단위 벡터(unit vector)인 경우이다. 이렇게 하더라도 전체 평면 좌표를 표현하는데 문제가 없다.

 

하지만 이 경우 2번째 기저에는 \( x \)축 방향과 평행한 성분이 들어가게 된다. 그래서 이 방향을 소거해줘서 \( y \)축에 평행한 기저를 새로 잡아 직교 기저를 잡겠다는 마인드이다.

 

 

\( \left| e_2 \right> \)에서 \( \left| e_1^{\prime} \right> \) 기저 방향 성분은 내적을 통해서 뽑아내 줄 수 있다. 뽑아낸 성분에 단위 벡터를 곱해서 원하는 방향의 성분을 소거하는 방식으로 새로운 직교 기저를 잡아주자.

$$ \left| e_2^{\prime} \right> = \left| e_2 \right> - \frac{\left< e_1^{\prime} \right| \left. e_2 \right>}{|| e_1^{\prime}||} \left| e_1^{\prime} \right> \tag{5}$$

 

이 과정을 이제 3번째 기저에다 똑같이 취해주면 3번째 기저를 구할 수 있다. 이때 \( \left| e_1^{\prime} \right> \) 방향과 \( \left| e_2^{\prime} \right>\) 방향을 빼줘야 한다.

$$ \left| e_3^{\prime} \right> = \left| e_3 \right> - \frac{\left< e_1^{\prime} \right| \left. e_3 \right>}{||e_1^{\prime}||} \left| e_1^{\prime} \right> - \frac{\left< e_2^{\prime} \right| \left. e_3 \right>}{||e_2^{\prime}||} \left| e_2^{\prime} \right> \tag{6}$$

 

이 과정을 계속해서 반복하면 식 (2)에 있는 직교 기저를 잡아줄 수 있다.