자유 낙하 운동과 종단 속도

이번 글에서는 중력(gravitation) 아래에서 물체의 운동 방정식(equation of motion)을 세우고 이를 풀어보는 연습을 살펴보자.

 

먼저 질량(mass)이 \( m \)인 물체가 공기 저항을 받지 않는 경우, 자유 낙하 운동(free fall motion)을 고려해보자. 중력의 영향만 있으므로 뉴턴 제 2법칙(Newton's second law)에 의해 다음과 같이 운동 방정식을 세울 수 있다.

$$\vec{F} = m \vec{a} = m \frac{d^2 \vec{r}}{d t^2} = m \left( \ddot{x} (t) \hat{x} + \ddot{y} (t) \hat{y} + \ddot{z} (t) \hat{z} \right) = - m g \hat{z} \tag{1}$$

여기서 \( g \)는 중력 가속도(gravitational acceleration)이다.

 

식 (1)일 성분 별로 정리하면 다음과 같다.

$$ m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = 0 \tag{2}$$

$$ m \frac{d^2 y(t)}{dt^2} = 0 \tag{3}$$

$$ m \frac{d^2 z(t)}{dt^2} = - mg \tag{4}$$

 

식 (2)와 (3)의 해는 일차 방정식 형태가 된다. 이때 계수들은 각각 초기 속도(initial velocity)와 초기 위치(initial position)가 된다.

$$ x(t) = v_x (0) t + x(0) \tag{5}$$

$$ y(t) = v_y (0) t + y(0) \tag{6}$$

 

초기에 이 물체가 정지한 상태에서 출발했다고 가정하면 \( v_x (0) = v_y (0) = 0\)이므로 식 (5)와 식 (6)은 초기 위치에서 변하지 않음을 알 수 있다.

$$ x(t) = x(0) \tag{7}$$

$$ y(t) = y(0) \tag{8}$$

 

 

이번엔 식 (4)를 풀어보자. 먼저 양변에서 질량을 소거해주고 양변을 시간에 대해서 적분(integral)해보자. 적분 상수(integral constant)를 초기 속도로 잡자. 그래야 물리적으로 말이 되는 해가 된다.

$$ v_z (t) = \frac{d z(t)}{dt} = -gt + v_z (0) \tag{9}$$

 

이번엔 식 (9)의 양변을 적분해서 해를 구해보자.

$$ z(t) = -\frac{1}{2} g t^2 + v_z (0) t + z(0) \tag{10}$$

 

처음 시작할 때 정지해 있었으므로 초기 속도를 \( 0 \)으로 설정하고 초기 위치를 지표로부터 \( h \)만큼 떨어져 있었다고 하자. 그러면 다음과 같은 해가 나온다.

$$ z(t) = - \frac{1}{2} g t^2 + h \tag{11}$$

 

 

이번엔 초기 속도를 \( - v_0 \hat{z} \)로 가지고 있으며 공기 저항이 걸리는 경우를 생각해보자. 경험적으로 공기 저항은 속도가 빠를 수록 크며 물체의 운동과 반대 방향으로 작용한다. 따라서 다음과 같은 저항력(resistance force) 항을 추가해야 한다.

$$\vec{F} = - k m \vec{v} \tag{12}$$

 

이때 저항력의 방향은 속도의 방향과 정반대가 됨을 \( (-) \) 부호를 통해 알 수 있다. \( k \)는 공기의 상황에 따라 달라지는 비례 상수(proportionality constant)이다.

 

초기 속도 조건을 생각해보면 이번에도 \( x\), \( y\) 방향은 식 (7)과 (8)에서 변하지 않고 \( z \) 방향은 초기 속도에 의해 저항력 항이 추가로 붙는 새로운 운동 방정식을 따른다.

$$ F_z = m \frac{d v_z (t)}{dt} = - mg - k m v_z (t) \tag{13}$$

 

 

식 (13)을 다음과 같이 정리해보자.

$$\frac{1}{k v_z (t) + g} d v_z(t) = - dt \tag{14}$$

 

이제 \(v_z (t)\)를 하나의 변수처럼 생각하고 적분해버리면 다음과 같은 방정식이 나온다.

$$ \frac{1}{k} \ln{(k v_z (t) + g)} = -t + C \tag{15}$$

 

적분 상수는 아직까지 알 수 없다. 초기 속도 조건에 맞춰주기 위해서 식 (15)를 속도에 대한 식으로 바꿔보자.

$$ v_z(t) = - \frac{g}{k} + \frac{1}{k} e^{-kt + C k} \tag{16}$$

 

\(v_z (0) = -v_0 \)로 하기로 했으므로 이를 식 (16)에 반영시켜 보면

$$ v_z (0) = -v_0 = - \frac{g}{k} + e^{C k} \tag{17}$$

 

따라서 적분 상수 항을 간단하게 바꿔 쓸 수 있다.

$$ e^{C k} = -v_0 + \frac{g}{k} \tag{18}$$

 

식 (18)을 식 (16)에 반영시켜 주면 우리가 아는 물리량으로 방정식이 싹 바뀌게 된다.

$$ v_z(t) = \frac{d z(t)}{dt} = - \frac{g}{k} + e^{C k} e^{-kt} = -\frac{g}{k} + \frac{g - k v_0}{k} e^{-kt} \tag{19}$$

 

 

이번엔 식 (19)를 적분해보자. 그러면 위치를 구할 수 있다.

$$ z(t) = - \frac{g}{k}t - \frac{g - k v_0}{k^2} e^{-kt} + C^{\prime} \tag{20}$$

 

이번에 초기 위치가 \( h \)였다는 것을 이용해서 적분 상수를 찾아주자.

$$ z(0) = h = -\frac{g - k v_0}{k^2} + C^{\prime} \tag{21}$$

$$ C^{\prime} = h + \frac{g - k v_0}{k^2} \tag{22}$$

 

이제 식 (22)에서 찾은 적분 상수를 식 (20)에 적용하면

$$ z(t) = - \frac{g}{k} t + \frac{g - k v_0}{k^2} \left( 1 - e^{-kt} \right) + h \tag{23}$$

 

 

식 (19)에서 시간이 충분히 오래 지난 경우, \( t \rightarrow \infty\)인 극한을 취해보자. 이때 속도는 특정 상수값으로 수렴하는데 그 값을 종단 속도(terminal velocity)라고 부른다.

$$ v_t = \lim_{t \rightarrow \infty} v_z(t) = \lim_{t \rightarrow \infty} \left( - \frac{g}{k} + \frac{g - kv_0}{k} e^{-kt} \right) = - \frac{g}{k} \tag{24}$$

 

종단 속도를 이용해서 식 (19)를 바꿔 쓰면 다음과 같다.

$$ v_z (t) = v_t - (v_t + v_0) e^{-kt} \tag{24}$$

이때 정의에 의해서 \(v_t < 0\)임을 상기하자.

 

 

식 (9)와 비교해보면 자유 낙하 운동의 경우 낙하하는 물체의 속도는 시간이 지날 수록 무한 빨라진다. 하지만 공기 저항까지 고려할 경우 물체가 도달할 수 있는 속도에는 한계가 존재하고 그 속도를 종단 속도라고 한다.

 

종단 속도 \( v_t = -1\)로 잡았을 때 초기 속도 \(v_0\)의 조건에 따른 그래프는 다음과 같이 나타난다.

v_t = -1로 잡은 그래프