전체 글
-
최단 시간 곡선 문제 - 변분법을 이용한 풀이고전역학 2023. 2. 28. 18:15
지난번에 페르마의 원리(Fermat's principle)을 이용해 최단 시간 곡선(Brachistochrone) 문제를 풀었었다. 이번에는 변분법(variation calculus)와 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용해서 문제를 풀어보자. 먼저 해밀턴의 원리(Hamilton's principle)를 적용시키기 위해 문제의 상황을 중력장(gravitational field) 아래에서 \( ( x_1, y_1 ) \) 좌표에서 \( (x_2, y_2 )\)로 가는 문제로 바꿔 생각해보자. 이제 두 경로를 잇는 경로(path) 중 우리는 운동 시간이 최소화되는 경로를 찾아야하며 실제로 이러한 상황에서의 물체의 운동은 이 경로를 따라서 일어난다. 먼저 퍼텐셜 에너지(p..
-
전기력과 전기장...장이란?전자기학 2023. 2. 28. 02:49
쿨롱의 법칙(Coulomb law)를 통해서 두 전하(charge)간에 작용하는 전기력을 구할 수 있게 됐다. 이제 중첩의 원리(principle of superposition)를 이용해서 전하가 \( q \)인 입자에 작용하는 전기력을 구해보자. 먼저 \(1\)번 입자가 작용하는 전기력(electric force)은 다음과 같다. $$\vec{F}_1 = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1}{|\vec{r} - \vec{r}_1|^2} q \hat{r}_1 \tag{1}$$ 여기서 \( q_1 \)은 \(1\)번 입자의 전하량을 의미한다. \(1 \)번 입자 말고도 다른 전하가 있는 경우에 대해서 우리가 다루는 전하가 \( q \)인 입자가 받는 전체 전기력은 중첩의 원리..
-
행렬식의 성질과 표현 - 라이프니츠 공식, 행렬식 곱셈수리물리 2023. 2. 25. 04:04
1. 라이프니츠 공식(Leibniz formula) 어떤 행렬 \( A \)의 행렬식을 \( \det A \)라고 표현했었다. 이번에는 라이프니츠 공식을 이용해서 행렬식을 간단하게 쓰는 방법을 소개한다. 전체적인 계산은 지난 행렬식 글에서와 동일하기 때문에 바로 공식만 사용한다. \( n \times n\) 행렬에 대해서 다음과 같다.$$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma_i} \right) \tag{1}$$ 여기서 \( S_n \)은 치환군(permutation)을 의미한다. \( n \)개의 숫자가 나열하는 경우의 수를 담은 집합으로 \( n !\)개의 원소(element)를 가진다. 원..
-
거듭제곱 급수와 수렴 반경, 유일성 정리수리물리 2023. 2. 24. 02:32
이번에는 함수 급수(series of function)이 가지는 형태 중 물리학에서 많이 사용하는 형태인 거듭제곱 급수(power series)에 대해서 알아보자. 우리가 만나는 대부분의 물리학 방정식은 깔끔하게 풀리지 않는다. 따라서 거듭제곱 급수 형태의 근사(approximation)를 통해서 유사한 방정식의 형태로 바꾸게 된다. 가장 많이 사용되는 형태의 근사는 테일러 전개(Taylor expansion)이라고 할 수 있으며 이외에도 선형 미분 방정식(linear differential equation) 같은 경우 해를 거듭제곱 급수 형태로 바꾸어 쓸 수 있다. 거듭제곱 급수란 다음과 같은 형태의 급수를 의미한다.$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a..
-
라그랑주 역학 - 라그랑지안고전역학 2023. 2. 23. 02:30
지난번 달랑베르 원리(D'Alembert's principle)를 통해 우리가 최소화해야하는 양 라그랑지안(Lagrangian)을 유도해보도록 하겠다. 먼저 달랑베르 원리에서 만든 일반화된 좌표(generalized coordinates)를 이용해서 앞서 사용했던 가상 변위(virtual displacement)를 정의할 때 사용한 좌표계를 바꿔 쓰자. $$\vec{r}_i = \vec{r}_i (q_1, q_2, \cdots, q_n; t) \tag{1}$$ 이 좌표계에서의 속도는 연쇄 법칙(chain rule)을 이용해서 구할 수 있다. $$ \vec{v}_i = \frac{d \vec{r}_i}{dt} = \sum_k \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \dot{..
-
전기력과 쿨롱 법칙의 발견전자기학 2023. 2. 18. 23:32
이번에는 쿨롱 법칙(Coulomb's law)에 대한 내용과 쿨롱(Coulomb)이 진행했던 실험이 어떻게 진행됐으며 이를 통해서 전하(electric charge)와 전기력(electric force)간의 선형성이 어떻게 나타나는지 볼 예정이다. 먼저 쿨롱이 어떻게 전기력을 발견했는지 먼저 살펴보자. 쿨롱이 전기력을 발견하기 이전부터 마찰 전기(triboelectricity)는 사람들이 익히 알고 있었다. 마찰 전기는 어떤 물체를 문지를 경우 발생하는 전기적인 현상을 의미한다. 대표적으로 풍선을 문지른 다음 머리에 가져다 대면 머리카락이 전기적인 인력(attraction)을 받아 풍선으로 끌어당겨진다. 이런식으로 여러 실험을 통해서 무언가 전기적인 특성을 띠게 하면 어떤 물체끼리는 서로 인력이 발생하고..
-
함수 급수의 균등 수렴 판정수리물리 2023. 2. 18. 23:06
지난 글에서 함수 급수(series of function)의 균등 수렴(uniformly convergence)에 대해서 다뤘었다. 이번엔 주어진 어떤 함수 급수가 특정 정의역(domain)에서 균등 수렴 하는가 안 하는가를 판정하는 방법으 다뤄보자. 1. 바이어슈트라스 M-판정법 (Weierstrass M-test) 바이어슈트라스 M 판정법은 어떤 정의역 \( A \)에서 정의된 함수 수열(sequence of function) \( f_n (x) \)에 대해서 양수로만 이루어진 어떤 수열(sequence) \( M_n \)이 있어서 다음 조건을 만족할 경우 \( f_n (x)\)가 균등 수렴한다는 판정법이다.$$ \sum_{n=1}^{\infty} M_n \quad \text{is covergenc..
-
행렬의 기초 - 단위 행렬과 행렬식수리물리 2023. 2. 17. 19:01
이번엔 행렬(matrix)의 더 부가적인 성질들과 연산을 알아보자. 1. 곱셈에 대한 항등원(identity) 먼저 행렬의 곱셈에 대한 항등원 \( I \)라 쓰고 이를 구하기 위해 행렬 곱셈의 일반화된 표현을 사용하자. 그럼 항등원의 정의에 따라 다음과 같은 식이 성립한다.$$ A_{ij} = (A I)_{ij} = \sum_{k}^n A_{ik} I_{kj} \tag{1}$$ 식 (1)을 전개한 다음 임의의 행렬 \( A \)에 대해 성립하는 경우를 생각해보자.$$ A_{ij} = A_{i1} I_{1j} + A_{i2} I_{2j} + \cdots + A_{ij} I_{jj} + \cdots + A_{in} I_{nj} \tag{2}$$ 다른 \( A \)의 항들은 임의의 실수기 때문에 등식이 항..