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왜 확률이었는가? 보른의 확률 해석양자역학 2022. 12. 31. 02:08
양자역학의 가장 난해한 점을 꼽으라면 아마 확률 해석일 것이다. 고등학교 화학 시간만 하더라도 원자의 모형을 설명할 때 오비탈(orbital) 이론을 가르치는데 문제는 갑자기 이전 모형까진 전부 공처럼 생각하던 전자가 오비탈 이론에선 확률 구름으로 존재한다는 점이다. 이는 보른(Born)의 확률 해석이 반영된 결과물인데 사실 이러한 가설에 대해 처음부터 찬성한 사람은 적었다. 실제로 격렬한 반대가 있었던 가설이지만 결국 현대 양자역학의 정설이 되어버렸다. 오늘 다룰 얘기는 "정말 확률인가?", "이 이론이 옳은가?", "입자의 확률이란 것이 무슨 소리인가?"에 대한 얘기가 아니다. 왜 보른은 이러한 가설을 제시했으며 이 가설이 정확히 지칭하는 것에 대해 다뤄볼 예정이다. 이전 글에서 슈뢰딩거 방정식(S..
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뉴턴 역학의 기초 - 뉴턴의 운동 2법칙(가속도 법칙)고전역학 2022. 12. 29. 15:04
이번 글에서는 뉴턴의 제 2법칙인 '가속도 법칙'(acceleration law)을 다룬다. 한국의 많은 교육 과정에서 가속도 법칙이라고 부르지만 사실 본질적으로 이 법칙은 가속도를 설명한다고 보긴 어렵다. 번역을 좀 바꿨으면 하지만 일단은 널리 알려진 이름으로 부를 것이다. 뉴턴 제 2법칙, 가속도 법칙은 다음과 같다. 운동의 변화는 물체에 가해진 힘에 비례하며 변하의 방향은 힘의 방향에 의존한다. 지난 글에서도 계속 강조되는 것은 물체의 운동과 운동을 변화시키는 원인에 대해서였다. 관성의 법칙은 물체에 힘이 작용하지 않을 경우 물체가 자신의 운동을 유지한다는 법칙이었던 반면 가속도 법칙은 힘이라는 운동 변화 요인이 들어오면 물체가 어떻게 반응하는가를 알려준다. 그런데 우리는 운동을 운동량(moment..
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뉴턴 역학의 기초 - 뉴턴의 운동 1법칙(관성의 법칙)고전역학 2022. 12. 29. 00:09
뉴턴 역학의 기초 - 기초 물리량 : https://boringphys.tistory.com/5 지난 글에서 뉴턴 역학(Newtonian Mechanics)에서 다루는 기본적인 물리량들에 대해서 다뤘다. 이번 글에서는 뉴턴 역학의 기초가 되는 뉴턴의 운동 법칙(Newton's laws of motion) 중 제 1법칙인 '관성의 법칙'(principle of inertia) 대해서 다뤄보려고 한다. 이 법칙들은 뉴턴이 물리학을 만들 때 사용한 기본 가정(postulate)에 가깝다. 해당 법칙을 기반으로 예상한 운동 방정식들이 실험과 잘 일치할 경우 우리는 이 가정을 사실이라고 믿는다. 물론 반례가 발견될 수도 있으며 이 경우 이론은 수정을 거치게 된다. 실제로 뉴턴의 법칙들은 수정을 거친 역사가 많지만..
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급수의 수렴과 발산 판정법 (2)수리물리 2022. 12. 27. 01:52
지난 글에서 급수의 수렴과 발산 판정법 일부를 봤었다. 이번에는 그에 이어서 다른 판정법들을 보고자 한다. 1. 달랑베르 비율 판정법(D'Alembert Ratio Test) 달랑베르 비율 판정법은 수열의 인접 두 항의 비율을 통해서 급수의 수렴과 발산을 판정하는 방법이다. \( a_n \neq 0 \)인 경우 충분히 큰 \( n \)에 대해서 다음과 같은 비율을 고려해본다.$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = a \tag{1}$$ 이때 \( n \)과 관계없는 \( r \)에 대해서 \( a \le r 먼저 \( a > 1 \)에 대해 충분히 \( n \)이 클 경우 \( |a_{n+1}| > |a_n| \)이기 때문에..
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슈뢰딩거 방정식의 유도양자역학 2022. 12. 22. 00:47
드 브로이의 물질파 이론 : https://boringphys.tistory.com/4 드 브로이의 물질파 이론 이야기 빛의 본질에 대해서는 인류가 오랫동안 궁금해 왔었다. 대표적으로 뉴턴은 빛의 직진성을 예시로 들며 빛이 입자라고 주장했고 하위헌스는 회절 현상을 예시로 들어 파동이라고 주장했다. 하지 boringphys.tistory.com 지난 드 브로이의 물질파 이론 글에서 마지막에 물질파 입자의 운동 에너지 공식을 다음과 같이 구했었다. $$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \tag{1}$$ 여기에 추가로 구했던 플랑크(Planck)의 파동 에너지 공식 \( E = \hbar \omega \)를 응용해서 식을 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다. $$ \hbar \omega = \frac..
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급수의 수렴과 발산 판정법 (1)수리물리 2022. 12. 21. 00:59
지난 글에서 급수란 무엇인지 그리고 급수의 수렴에 대한 정의를 봤었다. 일반적으로 다루는 급수는 수렴하는 급수고 우리에게 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 어떻게 알 수 있는지 현재까지 알려진 방법을 소개해보려고 한다. 1. 비교 판정법(Comparison Test) 비교 판정법은 어떤 임의의 정해진 자연수 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(0 \le |a_n| \le b_n\)이 성립하는 두 수열을 가정한다. 즉, 다시 말해서 같은 항일 경우 수열 \(b_n\)이 더 큰 경우를 의미한다. 만약 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)이 수렴하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하고 반대로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 발산하면 ..
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뉴턴 역학의 기초 - 기초 물리량(속도, 가속도, 운동량, 힘)고전역학 2022. 12. 13. 02:47
물리학의 목표는 물체의 운동을 기술하는 것이라고 할 수 있다. 외부의 어떤 자극에 대해서 세상이 어떻게 반응하는가를 알고 싶어하고 자극들을 분석해서 운동 방정식을 세운다. 그런데 운동이란 것은 시간에 대한 변화, 특히 위치 변화를 의미하므로 결국 변화의 정도를 기술하는 위치, 속도, 가속도 그리고 다른 운동을 표현할 수 있는 물리량들을 찾는 것이 핵심이 된다. 우리는 먼저 공간에 물체들이 위치하고 있고 시간이 변하면서 이들이 어떻게 변하는지를 궁금해한다. 물체의 위치를 표현하는데 있어서 숫자를 이용해 표현하는 편이 효과적이다. 3차원 공간에서 입자의 위치는 다음과 같은 위치 벡터를 이용해서 표현한다. $$ \vec{r} = x \hat{x} + y \hat{y} + z\hat{z} \tag{1} $$ 이..
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드 브로이의 물질파 이론 이야기양자역학 2022. 12. 12. 01:47
빛의 본질에 대해서는 인류가 오랫동안 궁금해 왔었다. 대표적으로 뉴턴은 빛의 직진성을 예시로 들며 빛이 입자라고 주장했고 하위헌스는 회절 현상을 예시로 들어 파동이라고 주장했다. 하지만 19세기 말엽 플랑크, 아인슈타인, 콤프턴 등의 물리학자들에 의해서 빛은 입자와 파동의 성질을 둘 다 가지고 있음이 밝혀졌다. 빛의 본질에 대해서는 추후 다뤄보도록 하고 이러한 빛의 이중성을 보고 '사실은 다른 입자들도 파동의 성질을 가질 수 있지 않을까?'라는 질문이 드 브로이의 머릿속에 떠올랐다. 정확히 말해서 드 브로이는 아인슈타인의 '광양자 가설'로 X선의 특이한 성질을 설명할 수 있다는 이론을 듣고 이와 같은 질문을 떠올리게 됐다. 드 브로이는 일반 입자의 파동성에 대한 방정식을 세우고 이를 물질파(matter..