고전역학
-
1차원 단순 조화 진동자 문제 - 연산자 풀이고전역학 2025. 1. 5. 23:37
지난번 글에서 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator) 문제를 가설 풀이(ansatz) 방법을 이용해서 풀었다. 이번에는 연산자(operator)를 이용한 풀이 방법을 간단하게 다뤄보자. 일단 이번에도 풀어야 하는 미분 방정식은 지난번과 마찬가지로 다음과 같다.$$\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \tag{1}$$이때 $\omega_0 = \frac{k}{m}$이다. 이를 미분 연산자(differential operator)의 형태로 쓰면 다음과 같다.$$\frac{d^2}{dt^2} x(t) + \omega_0^2 x(t) = \left( \frac{d^2}{dt^2} + \omega_0^2 \right) x(t) = 0 \tag{2}$$ 이 연산자를 마치 ..
-
1차원 단순 조화 진동자 문제 - 가설 풀이(Ansatz)고전역학 2024. 12. 14. 17:07
이번엔 훅의 법칙(Hooke's law)를 이용한 물리계 문제를 풀어보자. 특히 오로지 훅의 법칙에 의한 복원력(restoring force) 만 있는 경우를 단순 조화 진동자(simple harmonic oscillator)라고 부른다. 이 예시는 간단하게 풀 수 있는 문제지만 물리학에서 아주 강력한 효과를 발휘한다. 수많은 물리 문제의 경우 평형 상태(equilibrum)에서 외부 힘에 의해 약간 변하는 경우를 생각하기 때문에 어떤 원인에 의해서 발생했던 간에 그 효과는 단순 조화 진동자로 근사(approximation)하거나 애초에 단순 조화 진동자 문제 형태를 가진다. (실제로 단순 조화 진동자 형태로 쓸 수 없다면 문제는 매우 어려워지거나 풀지 못한다.) 이번 글에서는 특히나 물리학에서 광범위하..
-
Introduction : 훅의 법칙과 유도고전역학 2024. 5. 8. 19:38
이번에는 이론 물리학자의 영원한 장난감인 조화 진동자(harmonic oscillator)를 다루기 이전에 앞서 훅의 법칙(Hooke's law)를 유도해보려고 한다. 먼저 훅의 법칙을 유도하기에 앞서 몇 가지 가정을 도입해야 한다. 먼저 입자는 1차원에 갇혀서 운동하는 경우이다. 훅의 법칙을 다차원에서 텐서(tensor)를 이용해서 일반화 시킬 수도 있지만 1차원 문제에 비해 큰 물리적 의미를 찾기 어렵고 자주 사용되지도 않기 때문에 이번 글에서는 1차원 문제로만 다뤄도 충분하다. 두 번째 가정은 입자가 평형 상태(equilibrium)인 점이 존재해서 우리는 이 점을 원점(origin)으로 잡을 것이란 점이다. 이 점에서 입자는 움직이지 않는다. 이제 만약 외부에서 힘을 가해서 입자의 위치를 원점에..
-
에너지와 평형점, 평형점의 종류고전역학 2024. 4. 23. 22:11
고전 역학(classical dynamics)은 물체의 현상을 기술하는데 있어서 크게 3가지 다른 대상과 방법을 이용한다. 뉴턴(Newton)이 창안한 뉴턴 운동 법칙(Newton's law of motion)으로 대표되는 뉴턴 역학(Newtonian dynamics)은 운동량(momentum)을 이용해 물체의 운동을 기술하며 이들의 변화는 힘(force)으로 표현한다. 이 외에 나머지 두 방법은 작용(action)과 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용한 라그랑주 역학(Lagrange dynamics), 해밀토니안(Hamiltonian)을 이용한 해밀턴 역학(Hamilton dynamics) 등이 있다. 이중 라그랑주 역학과 해밀턴 역학에서는 에너지(energy)라..
-
2차원 등가속도 직선 운동 - 라그랑지안 풀이고전역학 2023. 4. 2. 02:12
이번엔 지난번에 다뤘던 2차원 등가속도 직서 운동(linear motion with constant acceleration) 문제를 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)를 이용해 다루는 방법을 얘기해보려고 한다. 지난번 문제의 상황과 완전히 동일하고 결과도 같기 때문에 딱히 새로울 내용은 없다. 오히려 두 역학이 서로 다른 결과를 줬으면 둘 중 하나는 틀린 것이기에 더 큰 문제가 됐을 것이다. 그러나 실제로 그런 일은 일어나지 않았고 이번엔 라그랑지안(Lagrangian)을 어떻게 사용하는가에 대한 예시로 받아들이면 좋다. 먼저 물체의 운동 에너지(kinetic energy)를 구해보자. 속력(speed)과 각각의 속도 벡터(velocity vector) 사이의 관계 \( v = \sqrt{v..
-
2차원 등가속도 직선 운동 - 포물선 운동고전역학 2023. 3. 5. 02:29
이번엔 아주 간단한 2차원 등가속도 직선 운동(linear motion with constant acceleration) 문제로 일정한 중력(gravitation) 아래에서 움직이는 물체를 다뤄보자. 먼저 우리는 물체가 속력(speed) \( v_0 \)로 지표면과 \( \theta \) 각도를 이루는 방향으로 쏘아진 상황을 가정해보자. 그렇다면 이 물체의 속도 벡터(velocity vector)는 다음과 같이 직교(orthogonal) 성분으로 분해할 수 있다. $$ \vec{v} = v_0 \cos \theta \hat{x} + v_0 \sin \theta \hat{y} \tag{1}$$ 처음 출발 지점을 원점으로 잡았다. 이제 물체에 작용하는 힘(force)을 분석해보자. 중력은 지표면에 직교(pe..
-
최단 시간 곡선 문제 - 변분법을 이용한 풀이고전역학 2023. 2. 28. 18:15
지난번에 페르마의 원리(Fermat's principle)을 이용해 최단 시간 곡선(Brachistochrone) 문제를 풀었었다. 이번에는 변분법(variation calculus)와 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용해서 문제를 풀어보자. 먼저 해밀턴의 원리(Hamilton's principle)를 적용시키기 위해 문제의 상황을 중력장(gravitational field) 아래에서 \( ( x_1, y_1 ) \) 좌표에서 \( (x_2, y_2 )\)로 가는 문제로 바꿔 생각해보자. 이제 두 경로를 잇는 경로(path) 중 우리는 운동 시간이 최소화되는 경로를 찾아야하며 실제로 이러한 상황에서의 물체의 운동은 이 경로를 따라서 일어난다. 먼저 퍼텐셜 에너지(p..
-
라그랑주 역학 - 라그랑지안고전역학 2023. 2. 23. 02:30
지난번 달랑베르 원리(D'Alembert's principle)를 통해 우리가 최소화해야하는 양 라그랑지안(Lagrangian)을 유도해보도록 하겠다. 먼저 달랑베르 원리에서 만든 일반화된 좌표(generalized coordinates)를 이용해서 앞서 사용했던 가상 변위(virtual displacement)를 정의할 때 사용한 좌표계를 바꿔 쓰자. $$\vec{r}_i = \vec{r}_i (q_1, q_2, \cdots, q_n; t) \tag{1}$$ 이 좌표계에서의 속도는 연쇄 법칙(chain rule)을 이용해서 구할 수 있다. $$ \vec{v}_i = \frac{d \vec{r}_i}{dt} = \sum_k \frac{\partial \vec{r}_i}{\partial q_k} \dot{..