수리물리
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[기초 군론] 사상과 군수리물리/기초 군론 2025. 3. 21. 02:41
이번 토픽에서는 군론(group theory)에 대해서 다뤄보자. 군론이 물리학에서 사용되는 이유는 물리적 대상에 대한 어떤 변환(transformation)과 그에 따른 대칭성(symmetry)와 그 외에 기본적인 특성을 이해하는데 큰 도움이 되기 때문이다. 군(group)에 대한 가장 원시적인 아이디어는 변환군(transformation group)이었다. 변환군을 이해하기에 앞서 먼저 필요한 내용은 사상(mapping)이다. 사상이란 어떤 집합 $X$와 $Y$ 사이의 대응 관계(correspondece relation)를 나타내는 과정의 총칭을 의미하며 집합 $X$에서 집합 $Y$로의 사상 $f$는 다음과 같이 표현한다.$$f : X \rightarrow Y \tag{1}$$ 이는 집합 $X$ 안..
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고유값 문제와 풀이 : 특성 방정식과 축퇴수리물리 2024. 5. 28. 22:48
이번 글에는 물리학에서 아주 중요하게 사용되는 방정식의 한 형태인 고유값 방정식(eigenvalue equation)를 다룬다. 여기서 고유를 의미하는 eigen은 독일어에서 나왔다. 고유값 문제는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 어떤 임의의 선형 연산자(linear operator) $\hat{O}$에 대해 다음과 같은 문제를 의미한다.$$\hat{O} \psi = \lambda \psi \tag{1}$$여기서 $\psi$는 어떤 함수를 $\lambda$는 임의의 상수를 의미한다. 식 (1)을 해석해보면 연산자 $\hat{O}$에 대해 변하지 않는 함수 $\psi$가 존재한다는 뜻이다. 다만 그 함수의 스케일은 $\lambda$만큼 변하긴 하지만 어쨋든 함수 $\psi$는 유지된다. 식 (1..
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리만 적분과 리만합수리물리 2024. 5. 28. 01:17
이번에는 구적법(quadrature)에서 사용했던 개념을 진화시켜 리만합(Riemann sum)과 리만 적분(Riemann integral)을 생각해보자. 지난 글에서는 원의 넓이를 구하는 방법으로 원을 잘게 쪼개서 재배열해서 더해 직사각형(rectangle) 모양을 만들어 직사각형의 넓이를 구하는 방식을 소개했었다. 이를 확장시켜서 어떤 둥근 곡선(curve)을 포함하는 도형의 넓이를 구할 때는 해당 도형을 잘게 쪼개서 쪼갠 넓이를 하나하나 구해서 더하는 방식으로 구한다. 이제 우리는 이러한 도형의 문제를 좌표 평면상에서 곡선 그래프와 $x$축 사이를 둘러싸고 있는 밑넓이를 구하는 문제로 바꿔서 다뤄보자. 이는 도형을 함수화시켜서 더욱 쉽게 다루고자하는 의도로 해석하면 좋다. 이제 넓이를 구하기 위해..
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벡터 미적분학 - 기울기 연산자수리물리 2024. 5. 25. 21:31
물리학에서 다루는 물리량들은 주로 공간과 시간의 함수(function)으로 주어진다. 특히 전자기학의 경우 장(field)라는 개념을 도입해서 전개할 경우 훨씬 쉽게 풀린다고 알려져있다. 이때 우리가 다루는 장들은 수학적 연속성(continuous)을 가지는 대상이라고 가정을 한다. 즉, 장들을 기술하는 함수는 연속 함수(continuous function)라는 뜻이다. 만약 장들이 벡터(vector)의 성질을 가진다면 벡터장(vector field)라 부르고 벡터 함수(vector function)의 형태로 쓰인다. 반대로 스칼라(scalar)의 성질을 가진다면 스칼라장(scalar field)라 부르고 스칼라 함수(scalar function)의 형태로 쓰인다. 이러한 장을 이용해서 물리학을 기술하려..
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행렬의 기초 - 전치 행렬의 성질과 수직 행렬수리물리 2024. 5. 7. 02:45
1. 전치 행렬(transposed matrix) 행렬(matrix)의 특성을 알아볼 때 자주 사용되는 연산인 전치(transpose) 연산에 대해 알아보자. 전치는 어떤 행렬의 행과 열을 서로 바꿔버리는 연산이다. 간단한 예시를 보기 위해 다음과 같은 $3 \times 3$ 행렬을 생각해보자.$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \tag{1}$$ 이 행렬의 전치는 다음과 같이 주어지며 전치 연산은 행렬 위에 첨자로 $T$를 많이 적는다. 또한 전치를 취해 만들어진 행렬을 전치 행렬이라고 부른다.$$A^T = \begin{pmatrix..
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[개정] 행렬의 기초 - 여인수 행렬과 전치 행렬수리물리 2024. 4. 23. 22:38
1. 여인수 행렬(cofactor matrix) 지난번에 행렬식(determinant)를 구하는 과정에서 소행렬(minor)이라는 개념을 정의했었다. 어떤 임의의 \( n \times n\) 행렬에서 한 성분(element)을 선택해 그 성분이 속한 행(row)과 열(column)을 행렬에서 제거해 만드는 \( (n-1) \times (n-1)\) 행렬을 의미한다. 다음과 같은 \( 3 \times 3\) 행렬의 소행렬을 생각해보자.$$ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} \tag{1}$$ \( A_{31} \)에 대한 소행렬을 구해보자..
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행렬식의 성질과 표현 - 행렬식 곱셈 정리수리물리 2024. 4. 11. 00:23
이번 글에서는 행렬(matrix)과 행렬식(determinant)을 다루는데 유용한 정리인 행렬식 곱셈 정리(determinant product theorem)를 보이려고 한다. 행렬식 곱셈 정리는 간단하게 말해서 $n \times n$인 두 행렬 $A$와 $B$가 있을 때 이 두 행렬을 곱해 만들어진 새로운 행렬 $AB$의 행렬식은 어떻게 구할 수 있는가에 대한 정리를 말한다. 사실 두 행렬을 그냥 곱한 다음 행렬식 구하는 방법을 이용해서 구하면 그만이다. 그런데 왜 따로 이런 정리가 필요할까? 먼저 이전 글에서 행렬 $AB$를 살펴보자. $$ \begin{split} AB = & \\ & \begin{pmatrix} A_{11} B_{11} + \cdots + A_{1n} B_{n1} & A_{11}..
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원의 넓이와 구적법수리물리 2024. 2. 15. 00:00
이번에는 흔히들 그냥 적분(integral)이라 부르는 리만 적분(Riemann integral)을 다루기 이전에 적분의 기초적인 아이디어를 제공하려 한다. 이번 글에서 알고자 하는 것은 "적분이란 정확히 무엇인가?" 또는 "적분이란 무엇을 목표로 했는가?"이다. 이에 대한 원초적인 답은 도형의 넓이 구하기이다. 어렸을 때 공식으로 외우는 깔끔한 다각형(polygon)의 넓이가 아닌 곡선이 들어간 평면 도형의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까? 사실 원의 경우 그 넓이는 $A = \pi r^2$이라는 유명한 공식이 존재한다. 그러나 이또한 완벽한 원의 경우에만 적용할 수 있는 공식이다. 세상에서 완벽한 원을 찾기는 불가능에 가깝다. 또한 원의 넓이에도 문제점은 존재한다. 도대체 어떻게 원의 넓이 공식을 알아..