전자기학
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구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ③ 편각 성분전자기학 2025. 2. 4. 13:31
지난번 라플라스 방정식(Lapalace equation) 풀이에서 반지름(radius)과 방위각(azimutal angle) 성분을 풀었었다. 이번에는 남은 편각(polar angle)에 대해서 다뤄보자.$$\frac{1}{P (\theta) \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) - \frac{m^2}{\sin^2 \theta} = - l (l+1) \tag{1}$$ 이 식은 다음과 같이 변형시키면 풀기 편하다.$$\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \..
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구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ② 방위각과 반지름 성분전자기학 2025. 1. 10. 01:04
지난번 글에서 구면 좌표계(spherical coordinate)에서의 라플라스 방정식(Laplace equation)을 변수 분리법(separation of variable)을 이용해 다음과 같은 방정식을 만들었었다.$$ \frac{r^2 \sin^2 \theta}{U(r)} \frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} + \frac{\sin \theta}{P(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial P (\theta)}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{Q (\phi)} \frac{\partial^2 Q(\phi)}{\partial \phi^2} = 0 \..
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구면 좌표계에서 라플라스 방정식의 풀이 - ① 변수 분리법전자기학 2024. 6. 9. 22:06
지난번 글에서 스칼라 퍼텐셜(scalar potential)이 푸아송 방정식(Poisson's equation)을 만족함을 보였었다. 그와 동시에 전하 분포(charge distribution)의 바깥 공간에서 푸아송 방정식은 라플라스 방정식(Laplace equation)이 됐었다. 어떤 전하 분포가 멀리 떨어진 한 지점에서 만드는 스칼라 퍼텐셜은 라플라스 방정식을 이용해 구하는 경우가 많다. 특히 문제의 상황이 어떤 대칭성(symmetry)을 가지고 있는가에 따라 퍼텐셜의 형태가 결정되는데 우선 구면 좌표계(spherical coordinate)에서 먼저 다뤄보자. 최종적인 목표는 가장 일반적인 형태의 구면 대칭성(spherical symmetry)를 가진 시스템에서 라플라스 방정식의 일반해(gene..
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푸아송 방정식과 라플라스 방정식전자기학 2024. 5. 26. 00:38
지난 글에서 도입한 스칼라 퍼텐셜(scalar potential) $\Phi (\vec{r})$을 이용하면 직접적으로 전기장(electric field)이라는 벡터(vector)를 이용한 방법보다 다소 쉽게 문제를 풀 수 있다고 소개했었다. 그렇다면 이번에는 도대체 어떻게하면 전기장 문제를, 구체적으로 가우스 법칙(Gauss' law)로 이루어진 문제를 스칼라 퍼텐셜 문제로 만드는가를 다뤄보자. 먼저 가우스 법칙과 스칼라 퍼텐셜의 정의는 각각 다음과 같다.$$\text{Gauss' law : } \quad \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \tag{1}$$$$\vec{E} = - \vec{\nabla} \Phi \tag{2}$$ 이제 식 (2..
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스칼라 퍼텐셜(전위)과 전기장이 한 일 그리고 전압전자기학 2024. 5. 11. 02:06
이번에는 정전기학(electrostatistics)을 다루는데 있어서 아주 유용한 도구인 스칼라 퍼텐셜(scalar potential) 또는 전위(electric potential)에 대해 다뤄보려고 한다. 역사적으로 스칼라 퍼텐셜은 맥스웰(Maxwell)이 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)을 간단한 형태로 바꾸기 위해서 도입했었다. 실제로 4개의 맥스웰 방정식은 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜(vector potential)이라는 함수를 도입하면 2개의 방정식으로 간결하게 나타난다. 또한 이러한 이론 체계는 특수 상대성 이론(special relativity)를 간단하게 표현하는데 큰 도움이 되는 것으로 알려져있다. 특히 라그랑주 역학(Lagrangian dynamics)를 이용해서 전자기..
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전기장의 발산과 회전 - 발산 정리와 스토크스 정리의 응용전자기학 2024. 5. 3. 14:20
이번에는 전기장(electric field)의 미분(differentiation)에 대해 분석을 해보려고 한다. 전기장은 벡터(vector)이기 때문에 일반적인 스칼라 함수(scalar function)과 달리 두 가지 미분이 널리 쓰인다. 대표적인 예시로 가우스 법칙(Gauss' law)가 존재하는데 가우스 법칙은 전기장의 발산(divergence)라는 미분을 사용하는 가우스 법칙의 미분형(Gauss' law in differential form)이 있었다. 이번 글에서도 먼저 전기장의 정의를 가지고 발산을 취해보자.$$\vec{E} (\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V^{\prime}} \frac{(\vec{r} - \vec{r}^{\prime})}{|\..
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무한 평판이 만드는 전기장 문제전자기학 2024. 4. 19. 22:28
이번에는 무한 평판(infinite plate)이 만들어내는 전기장(electric field)을 두 가지 방법을 이용해서 풀어볼 예정이다. 먼저 문제의 계산을 쉽게하기 위해서 문제 설정을 해보자. 무한 평판의 경우 $z = 0$에 있는 $xy$ 평면이라고 설정하자. 문제의 간결함을 위해서 평판의 두께는 무시하며 표면 전하 밀도(surface charge density)는 $\sigma$로 균일한 문제를 풀자. 그렇게 한다면 평판위의 한 점은 $(x, y, 0)$의 형태를 가지고 있다. 이제 이 평판에서 $z_0$만큼 떨어진 평판 외부의 한 점 $P$에서의 전기장을 찾아보자. 계산의 편의성을 위해서 $P$의 $x$ 좌표(coordinate)와 $y$ 좌표를 $0$으로 설정하자. 이렇게하면 이 점이 평판으..
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가우스 법칙의 응용 - 균일한 구의 전기장전자기학 2024. 4. 12. 21:36
이번 글에서는 가우스 법칙(Gauss' law)의 응용 사례로 가장 대표적인 균일한 전하 분포(charge distribution)를 가지는 대전된 구(sphere)가 만들어내는 전기장(electric field)을 구하려고 한다. 먼저 구의 반지름(radius)은 $R$이며 구체의 총 전하(total charge)는 $Q$라고 설정하고 문제를 풀자. 가우스 법칙을 적용하기 위해선 먼저 가우스 곡면(Gauss surface)을 설정해야 한다. 가우스 곡면의 설정은 어떻게 잡아도 상관 없다. 따라서 괜히 어려운 문제를 풀지 않기 위해서 최대한 간단한 형태의 가우스 곡면을 잡자. 이번 문제의 경우 구의 중심에서부터 $R_0$만큼 떨어진 구면을 가우스 곡면으로 잡는 것이 경험적으로 편하다고 알려져 있다. 다르..