함수 급수와 균등 수렴

 

이번에는 앞으로 함수를 근사(approximation)하는데 있어서 유용한 함수 급수(series of function)를 다뤄보자.

 

기존에 수열(sequence)을 어떤 문자와 순서를 통해서 \( a_n \)과 같은 식으로 표현했듯이 이번엔 함수를 \(f_n (x)\)로 표현해보자. 일반적으로 \(n\)이 무한한 무한 수열(infinite series)를 생각한다.

 

이제 이 수열이 수렴(convergence)할 수 있는지 생각해보자. 일반적인 수열과 결정적으로 다른 점은 특정 \( n \) 값을 정해놓고 생각하더라도 \( x \)에 따라서 나오는 값이 다르다. 즉, \( x \)에 따라서 수렴할 수도 발산(divergence)할 수도 있다.

 

 

수열 자체를 분석할 수도 있겠지만 사실 여러개의 함수를 분석하는 것 이상의 효과를 기대하긴 힘들다. 하지만 이 수열들로 급수를 만들면 얘기가 달라질 수 있다. 다음과 같은 함수 급수를 생각해보자.

$$\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) = f_1 (x) + f_2 (x) + f_3 (x) + \cdots \tag{1}$$

 

급수에서와 마찬가지로 여기서도 부분합(partial sum)을 생각해 볼 수 있다.

$$ S_n (x) = f_1 (x) + f_2 (x) + \cdots + f_n (x) = \sum_{k=1}^n f_k (x) \tag{2}$$

 

이 급수도 마찬가지로 수렴, 발산을 생각해 볼 수 있는데 수열에서와 마찬가지로 \( x \)에 의존하게 될 것이다. 급수에서와 동일하게 함수 급수의 수렴도 정의할 수 있다.

$$ S(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} S_n (x) = \lim_{n \rightarrow} \sum_{k=1}^{n} f_k (x) = \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x) \tag{3}$$

 

특정 \( x \)에 대해 급수의 수렴과 마찬가지의 형태인 식 (3)이 성립한다면 우리는 이 경우 함수 급수가 점별 수렴(pointwise convergence)한다고 부른다.

 

 

여기서 좀 더 확장된 개념을 생각해보자. 어떤 함수 급수가 구간(interval) \( [ a,b ] \)에서 동일하게 수렴하는 경우이다.

 

점별 수렴이 경우 어떤 수렴 구간을 정해놓는다 하더라도 각 \( x \)마다 수렴 값으로 가는 속도가 다를 수 있다. 하지만 지금 생각하는 경우는 함수의 수렴 속도가 일정한 경우를 의미한다.

 

이러한 특수한 수렴 범위를 가지는 경우 함수 급수는 균등 수렴(uniformly convergence)한다고 하며 다음과 같이 나타낸다.

어떤 작은 양수 \( \varepsilon > 0\)에 대해 다음 조건을 만족하는 \( N \in \mathbb{N}\)이 존재한다면 이 급수는 균등 수렴한다.

구간 \( [a, b] \) 안에 있는 \( x \)에 대해 \(n > N\)일 경우
$$|S_n (x) - S(x)| < \varepsilon \tag{4}$$

이때 \( N \)은 \( x \)와 무관하다.

 

 

균등 수렴을 생각하는 이유는 어떤 함수 급수 \(f_n (x)\)가 점별 수렴할 때 함수 급수에서 가지고 있던 성질이 수렴하는 함수 \( f(x) \)에서 나타나지 않는 경우가 있기 때문이다. 대표적으로 연속성(continuity)가 있다.

 

그래서 만약 어떤 함수 수열 \(f_n (x)\)가 구간 \( [a, b] \)에서 연속(continuous)이고 급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} \)가 균등 수렴한다면 다음과 같이 정의되는 함수도 연속이다.

$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) \tag{5}$$

 

연속성 말고도 몇 가지 중요한 성질이 있는데 증명 없이 소개만 하겠다.

 

 

1. 균등 수렴은 극한을 서로 바꿀 수 있다. ( \(x_0 \in [a, b]\) )

$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \left[ \lim_{n \rightarrow \infty} f_n (x) \right] = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \lim_{x \rightarrow x_0} f_n (x) \right] \tag{6}$$

 

2. 연속인 \(f_n (x)\)에 대해 급수와 적분(integral)은 서로 연산 순서를 바꿀 수 있다.

$$\int_{a}^{b} f (x) dx = \int_{a}^{b} \left( \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n (x) dx  \tag{7}$$

 

3. 미분(derivatiive)과 급수의 연산은 서로 순서를 바꿀 수 있다.

$$ f^{\prime} (x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) \right) = \sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}_n (x) \tag{8}$$

 

4. 균등 수렴하는 함수 수열 끼리의 덧셈(addition)과 뺄셈(substraction)으로 만든 함수 수열은 여전히 균등 수렴이다.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( f_n(x) + g_n(x) \right) \quad \text{is uniformly convergent} \tag{9}$$

 

5. 같은 구간에서 연속인 함수 \( h(x) \)를 곱해도 여전히 그 급수는 균등 수렴이다.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} h(x) f_n(x) \quad \text{is uniformly convergent} \tag{10}$$

 

특히 2번 성질의 경우 앞으로 종종 사용할 예정이다.

 

수열과 급수