양자역학의 기초 - 행렬과 연산자

 

이번에는 양자역학(quantum mechanics)을 구성하는 공간인 힐베르트 공간(Hilbert space)에서 힐베르트 공간의 원소인 벡터(vector)들이 어떻게 서로간에 관계를 가지는지 이에 대한 연산은 어떤 성질을 띠는지 알아보자.

 

우리가 지난 글에서부터 어떤 \( n\)차원 열 벡터(column vector)를 폴 디랙(Paul Dirac)의 표현법을 받아들여 \( n \)차원 켓 벡터(ket vector)로 표현했었다.

$$ \left| V \right> = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \tag{1}$$

 

 

이제 이 벡터에 어떤 계산을 가해서 힐베르트 공간에 있는 또다른 벡터 \( \left| U \right> \)로 바꿔보자. 정확히는 그런 어떤 연산이 있다고 해서 그 연산을 \( \Omega \)라 하면 다음과 같다.

$$ \left| U \right> = \Omega \left| V \right> \tag{2}$$

 

이러한 연산을 표현하는 기호 \( \Omega \)를 연산자(operator)라고 부른다. 벡터 공간에서 연산자는 한 벡터를 같은 공간 내의 다른 벡터로 바꾸는 역할을 한다.

 

특히, 양자역학에서는 선형성(linearity)을 가지는 선형 연산자(linear operator)를 다루는데 다음과 같은 성질들을 만족하면 선형 연산자라고 부른다.

$$\Omega a \left| V \right> = a \Omega \left| V \right> \tag{3}$$

$$ \Omega \left(a \left| V_1 \right> + b \left| V_2 \right> \right) = a \Omega \left| V_1 \right>  + b \Omega \left| V_2 \right> \tag{4}$$

이때 \( a, b \in \mathbb{C} \)이다.

 

이제 식 (3), (4)와 같이 1차 함수가 가지는 성질과 유사한 성질을 가지는 연산자를 선형 연산자라고 정의하자.

 

선형 연산자의 경우 역연산(inverse operation)과 항등 연산(identity operation)을 정의할 수 있으며 \( \Omega \)의 역연산은 \( \Omega^{-1} \), 항등 연산은 \( I \)로 표현해 다음과 같은 성질들을 만들어낼 수 있다.

$$ I a\left| V \right> = a \left| V \right> \tag{5}$$

$$ \Omega \Omega^{-1} = \Omega^{-1} \Omega = I \tag{6}$$

 

또다른 선형 연산자 \( \Lambda \)가 있어 \( \Lambda \Omega \)의 역연산은 다음과 같이 구할 수 있다.

$$ \left( \Omega \Lambda \right) \left( \Omega \Lambda \right)^{-1} = \Omega \Lambda \Lambda^{-1} \Omega^{-1} = \Omega \Omega^{-1} = I \tag{7}$$

$$\therefore \left( \Omega \Lambda \right)^{-1} = \Lambda^{-1} \Omega^{-1} \tag{8}$$

 

 

지난 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt proceudure)을 통해서 어떤 임의의 벡터를 전부 직교 기저(orthogonal basis)로 바꿔 쓸 수 있었다.

 

어떤 벡터를 직교 기저를 이용해 성분별로 풀어쓴 다음 선형 연산자로 연산을 가해주면 연산에 의해 벡터가 완전히 바뀌게 될텐데 바뀌는 벡터의 기저 또한 어떤 직교 기저를 이용해서 표현할 수 있을 것이다.

 

이렇게 바뀐 벡터는 원래 벡터의 직교 기저들을 내적하는 값을 생각할 수 있다. 두 직교 기저가 같은 직교 기저라면 같은 방향의 성분만 나오겠지 서로 다르다면 뭔가 각자의 방향에 따라 달라지는 값이 나타날 수 있다. 이를 수식으로 봐보자.

 

다음과 같이 \( \left| V \right> \)가 어떤 임의의 직교 기저 \( \left| i \right> \)로 이루어져있다고 해보자.

$$\left| V \right> = v_1 \left| 1 \right> + v_2 \left| 2 \right> + \cdots + v_n \left| n \right> = \sum_{i=1}^n v_i \left| i \right> \tag{9}$$

 

 

이제 선형 연산자 \( \Omega \)가 식 (9)의 벡터를 다른 벡터로 바꾼 식을 보자.

$$\left| U \right> = u_1 \left| 1^{\prime} \right> + u_2 \left| 2^{\prime} \right> + \cdots + u_n \left| n^{\prime} \right> = \sum_{i^{\prime}=1}^n u_{i^{\prime}} \left| i^{\prime} \right> = \Omega \left| V \right> = \Omega \sum_{i=1}^n v_i \left| i \right> \tag{10}$$

 

식 (10)의 양변에 브라 벡터(bra vector) \( \left< 1^{\prime} \right| \)을 내적(inner product)을 가해보자. 그럼 다음과 같은 결과식이 나온다.

$$ u_1 = \left< 1^{\prime} \right| \Omega \left| 1 \right> v_1 + \left< 1^{\prime} \right| \Omega \left| 2 \right> v_2 + \cdots + \left< 1^{\prime} \right| \Omega \left| n \right> v_n \tag{11}$$

 

마찬가지로 \( \left< 2^{\prime} \right| \)이나 \( \left< 3^{\prime} \right| \)과 같은 다른 연산에 대해서도 이 작업을 취해줘보자.

$$ u_2 = \left< 2^{\prime} \right| \Omega \left| 1 \right> v_1 + \left< 2^{\prime} \right| \Omega \left| 2 \right> v_2 + \cdots + \left< 2^{\prime} \right| \Omega \left| n \right> v_n \tag{12}$$

$$ u_3 = \left< 3^{\prime} \right| \Omega \left| 1 \right> v_1 + \left< 3^{\prime} \right| \Omega \left| 2 \right> v_2 + \cdots + \left< 3^{\prime} \right| \Omega \left| n \right> v_n \tag{13}$$

$$ u_i = \left< i^{\prime} \right| \Omega \left| 1 \right> v_1 + \left< i^{\prime} \right| \Omega \left| 2 \right> v_2 + \cdots + \left< i^{\prime} \right| \Omega \left| n \right> v_n \tag{14}$$

 

이러한 식 (11)~(14)와 같은 연립 방정식 계산을 행렬(matrix)를 이용해 간단하게 표현할 수 있다.

$$\left| U \right> = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left< 1^{\prime} \right| \Omega \left| 1 \right> & \left< 1^{\prime} \right| \Omega \left| 2 \right> & \cdots & \left< 1^{\prime} \right| \Omega \left| n \right> \\ \left< 2^{\prime} \right| \Omega \left| 1 \right> & \left< 2^{\prime} \right| \Omega \left| 2 \right> & \cdots & \left< 2^{\prime} \right| \Omega \left| n \right> \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \left< n^{\prime} \right| \Omega \left| 1 \right> & \left< n^{\prime} \right| \Omega \left| 2 \right> & \cdots & \left< n^{\prime} \right| \Omega \left| n \right> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \Omega \left| V \right> \tag{15}$$

 

 

따라서 식 (15)을 보면 어떤 벡터를 변환하는 선형 연산자 \( \Omega \)는 행렬으로 표현할 수 있다. 연산자의 행렬 성분은 식 (15)를 따라 다음과 같이 간단하게 축약해서 쓸 수 있다.

$$ \Omega_{ij} = \left< i \right| \Omega \left| j \right> \tag{16}$$

 

또한 행렬을 이용해서 연산자를 전부 표현할 수 있기 때문에 역연산이나 항등 연산의 경우 각각 \( \Omega \) 행렬의 역행렬(inverse matrix)와 항등 행렬(identity matrix)가 됨을 알 수 있다.

 

이러한 성질이 낳는 가장 중요한 결과는 이제 우리는 켓 벡터로 표현한 파동 함수(wave function)을 가지고 어떤 물리량을 측정하는 과정을 수학적으로 어떤 물리량 연산자를 파동 함수에 가해서 얻어지는 결과로 생각할 것이다. 당장 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)의 유도 과정을 생각해보자. 미분(derivative)이라는 연산자가 들어간다.

 

따라서 운동량, 위치와 같은 물리량들은 전부 어떤 연산자로 표현하며 이 연산자들이 가지는 연산 관계가 어떤 숫자와 같은 연산 관계를 따르지 않고 행렬과 같은 연산 관계를 따른다.

 

행렬의 연산과 숫자의 연산 사이의 가장 큰 차이점이 행렬은 곱셈에 대해서 교환 법칙(commutative)이 적용되지 않는다는 것이었고 따라서 물리량들 사이에는 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않는다. 이러한 성질이 앞으로 양자역학을 만들어 나가는데 아주 중요한 위치를 차지한다.

 

실제로 베르너 하이젠베르크(Werner Heisenberg)는 양자역학을 개발했을 당시 물리량들이 독특한 연산 관계를 가진다고 발표했었다.

 

이후 이 관계식이 막스 보른(Max Born), 파스쿠알 요르단(Pascual Jordan)에 의해서 행렬이 가지는 대수적(algebric) 성질임이 밝혀지고 하이젠베르크 방식의 양자역학을 행렬 역학(Matrix dynamics)라고 불렀었다.