테일러 급수와 매클로린 급수

지난 글에서 다음과 같이 어떤 거듭제곱 급수(power series)로 쓰여진 함수에 대해서 다뤘었다. 사실 이는 다항식(polynomial)을 의미한다.

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots \tag{1}$$

 

어떤 함수를 거듭제곱 급수 형태로 쓸려고 할 때 급수의 계수(coefficient)를 어떻게 설정할 것이냐가 중요하다. 유일성 정리(uniqueness theorem)에 의해 급수의 계수는 하나로 정해지는데 그 계수를 구하는 방법 중 가장 많이 쓰는 방법인 테일러 전개(Taylor expansion)에 대해 다뤄보자.

 

 

먼저 유일성 정리의 증명 과정에서 함수가 균등 수렴(uniform convergence)한다면 합기호와 미분(derivative)의 순서를 바꿀 수 있음을 이용했다. 따라서 다음과 같은 관계들을 생각해보자.

$$ f(0) = a_0 \tag{2}$$

$$ f^{\prime} (0) = \left. \frac{d f(x)}{dx} \right|_{x=0} = a_1 \tag{3}$$

$$ f^{\prime \prime} (0) = \left. \frac{d^2 f(x)}{dx^2} \right|_{x=0} = 2 * a_2 \tag{4}$$

$$ f^{\prime \prime \prime} (0) = \left. \frac{d^3 f(x)}{dx^3} \right|_{x=0} = 3*2* a_2 \tag{5}$$

 

이 관계는 순저히 식 (1)의 거듭제곱 급수 전개에서 만든 다항식의 성질을 이용해 만들었다. 이를 일반화시키면 다음과 같은 식이 나온다.

$$f^{(n)} (0) = \left. \frac{d^n f(x)}{dx^n} \right|_{x=0} = n! * a_n \tag{6}$$

 

이제 식 (6)을 이용해서 식 (1)의 계수들을 정해주자.

$$a_n = \frac{1}{n!} \left. \frac{d^n f(x)}{dx^n} \right|_{x=0} \tag{7}$$

 

식 (7)을 이용해서 식 (1)을 다시 쓰면 다음과 같다.

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left. \frac{d^n f(x)}{dx^n} \right|_{x=0} x^n = f(0) + f^{\prime} (0) x + \frac{1}{2!} f^{\prime \prime} (0) x^2 + \frac{1}{3!} f^{\prime \prime \prime} (0) x^3 + \cdots \tag{8}$$

 

 

식 (8)과 같이 전개하는 급수를 매클로린 급수(Maclaurin series)라고 부른다. 매클로린 급수는 일일히 언급하기 힘들 정도로 물리학의 많은 분야, 아니 거의 대부분의 물리학을 이루는 함수 전개 방법이다.

 

실제 방정식에서 다루기 힘든 함수, 예를 들면 삼각 함수(sinusoidal function) 혹은 지수 함수(exponential function)를 매클로린 급수를 이용해 전개해서 문제를 간단하게 만든다.

 

특히 매클로린 급수는 \( x = 0\)인 경우에 대해서 등호 관계가 정확히 성립한다. \( x \neq 0\)인 경우에 대해서는 실제 어떤 함수를 잡아보고 값을 비교해보면 알지만 잘 맞지 않는다.

 

따라서 \( x \)가 \(0\)에 가까울 정도로 작을 경우에만 잘 성립하는 전개다. 그래서 많은 경우 물리학의 이론은 어떤 변수가 매우 작은, 예를 들면 저온이나 저에너지, 약한 자기장(magnetic field) 상태와 같이 극한 상황을 다루는 경우가 많다.

 

 

\( x = 0 \) 근방(neighborhood)에서 얼마나 정교한가에 대해서는 좀 더 많은 얘기가 필요하기 때문에 다음 글에서 다뤄보도록 하자. 중요한 것은 매클로린 급수는 어떤 변수값 인근에서의 근사(approximation)의 방법으로서 사용된다는 점이다.

 

다루기 곤란한 함수를 매클로린 급수를 이용해서 다항식의 형태로 바꿔쓰면 이 다항식은 항이 무한해진다. 하지만 적당한 선에서 끊는다 하더라도 \( x^n \)항들을 무시하면서 생긴 오차는 \( n \)이 커질수록 작아진다.

 

따라서 할 수 있는 최대한 항을 고려하면 고려할 수록 매클로린 급수로 바꿔쓴 함수는 원래 함수와 아주 유사한 결과를 주게 된다. 사실 많은 물리학은 첫째항만 고려해도 아주 정밀하며 많이 고려해 3차항 정도까지 고려한다.

 

 

이번엔 \( x = 0 \)이 아닌 다른 값, 예를 들어 \( x = a \) 인근에서 전개하고 싶다면 다음과 같이 거듭제곱 급수를 전개하면 된다.

$$ f(x) = a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a)^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n \tag{9}$$

 

그리고 매클로린 급수때와 비슷한 방식으로 계수들을 구해주자.

$$ f(a) = a_0 \tag{10}$$

$$ f^{\prime} (a) = \left. \frac{d f(x)}{dx} \right|_{x=a} = a_1 \tag{11}$$

$$ f^{\prime \prime} (a) = \left. \frac{d^2 f(x)}{dx^2} \right|_{x=a} = 2*a_2 \tag{12}$$

$$ f^{\prime \prime \prime} (a) = \left. \frac{d^3 f(x)}{dx^3} \right|_{x=a} = 3*2*a_3 \tag{13}$$

 

따라서 일반화된 계수는 다음과 같다.

$$ a_n = \frac{1}{n!} \left. \frac{d^n f(x)}{dx^n} \right|_{x=a} \tag{14}$$

 

따라서 식 (9)는 다음과 같이 쓰인다.

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left. \frac{d^n f(x)}{dx^n} \right|_{x=a} (x-a)^n = f(a) + f^{\prime} (a) (x-a) + \frac{1}{2!} f^{\prime \prime} (a) (x-a)^2 + \cdots \tag{15}$$

 

식 (15)와 같은 함수 전개를 테일러 전개(Taylor expansion)이라고 부른다. 매클로린 전개(Maclaurin expansion)는 \( a = 0\)인 아주 특수한 경우의 테일러 전개라고 생각할 수 있다.

 

매클로린 급수 때와 마찬가지로 테일러 급수(Taylor series) 또한 \( x = a\) 인근에서 정밀한 근사 방법이며 근방을 벗어나게 되면 잘 안맞는 근사가 된다.

 

 

마지막으로 자주 쓰이는 매클로린 급수들을 소개하고 마무리를 짓겠다. 실제로 전개하려는 함수 미분의 성질을 잘 이용해 매클로린 급수 구하는 방법에 적용시키면 다음과 같은 식들이 성립함을 잘 알 수 있다.

$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n +1} \tag{16}$$

$$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \tag{17}$$

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \tag{18} $$

$$ \ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} x^n \tag{19}$$

$$ (1+x)^p = 1 + px + \frac{p(p-1)}{2} x^2 + \frac{p (p-1) (p-2)}{3!} x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} {_{p}\rm{C}_{n}} x^n \tag{20}$$

$$\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} \tag{21}$$

$$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!} x^{2n} \tag{22}$$

 

다음 세 식은 \( |x| < \frac{\pi}{2} \)에서 성립한다.

$$\tan x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{2}{15}x^5 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n} (-4)^n (1 - 4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} \tag{23}$$

$$\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5}{24} x^4 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} \tag{24}$$

$$\tanh x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15} x^5 + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n} 4^n (4^n - 1)}{(2n)!} x^{2n-1} \tag{25}$$

 

다음 네 식은 \( |x| \leq 1\)에서 성립한다.

$$\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3}{40} x^5 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \tag{26}$$

$$\arccos x = \frac{\pi}{2} - x - \frac{x^3}{6} - \frac{3}{40}x^5 - \cdots = \frac{\pi}{2} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \tag{27}$$

$$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} x^7 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n +1} \tag{28}$$

$${\rm arcsinh} \; x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{3}{40} x^5 - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \tag{29}$$

 

마지막 식은 \( |x| < 1 \)에서 성립한다.

$${\rm arctanh} \; x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n + 1} x^{2n+1} \tag{30}$$

 

거듭제곱 급수와 수렴 반경, 유일성 정리