행렬식의 성질과 표현 - 크래머 법칙

이번엔 행렬식(determinant)을 이용해서 선형 연립 방정식(linear simultaneous equation)을 푸는 방법인 크래머 법칙(Cramer's rule)을 알아보자.

 

먼저 \( n \)개의 변수(variable)로 이루어진 1차 방정식들의 경우 연립해서 모든 변수들의 해를 구하기 위해선 또다른 \( n - 1\)개의 1차 방정식들이 더 필요하다. 그래서 총 \( n \)개의 1차 방정식이 있어야 연립 방정식을 풀 수 있다.

 

따라서 다음과 같은 \( n \)개 변수로 이루어진 \( n \)개의 식을 만들 수 있다.

$$ \begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n  & = & m_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n & = & m_2 \\ \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n & = & m_n \end{matrix} \tag{1}$$

 

 

식 (1)의 형태만 봐도 바로 눈치챌 수 있겠지만 저 많은 개수의 식의 계수들을 모아서 \( n \times n \) 행렬을 만들면 한 식으로 통합해서 다룰 수 있게 된다.

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m_1 \\ m_2 \\ \vdots \\ m_n \end{pmatrix} \tag{2}$$

 

다만 통합해서 생각할 수 있게 되었을 뿐 아직까지 변수들의 값은 구할 수 없다. 기본적으로 연립 방정식을 풀기 위해선 한 방정식을 방정식에 존재하는 특정 변수에 대한 식으로 바꿔 쓴 다음 다른 식들에 대입해서 점점 변수를 소거해 나가는 방식으로 푼다.

 

하지만 이 방법은 항의 개수가 많을수록 점점 복잡해지고 이 경우 식 (2)의 행렬이 점점 커지면서 다루기 어려워 짐을 알 수 있다.

 

 

여기서 행렬식의 성질을 이용하면 비교적 쉽게 다뤄볼 수 있다. 일단 계수들로 이루어진 \( n \times n \) 행렬의 행렬식을 생각해보자.

$$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \tag{3}$$

 

식 (3)에 \( x_1 \)을 곱하면 행렬식의 성질에 의해 다음과 같다.

$$ x_1 D = \begin{vmatrix} a_{11} x_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} x_1 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} x_1 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \tag{4}$$

 

이번엔 식 (3)에서 약간 변형을 해서 \( 1 \)열(column)을 또 다른 열이 중복되도록 바꿔보자. 대표적으로 \( 2 \)열을 중복시켜 바꿔보면 다음과 같다.

$$ D^{\prime} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \tag{5}$$

 

이제 식 (5)의 \( 2 \)열과 \(1 \)열을 교차해보자. 그럼 한 번 교차한 것이기 때문에 행렬식에는 \( -1 \)이 곱해지는데 문제는 식 (5)에서 실제로 두 열을 교차했을 경우 변화가 없음을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 관계가 성립한다.

$$ D^{\prime} = - D^{\prime} \tag{6}$$

이를 만족하기 위해서 \(D^{\prime} = 0\)임을 알 수 있다.

 

따라서 식 (5)에 \( x_2 \)를 곱해서 다음과 같은 행렬식을 만들 수 있다.

$$ x_2 D^{\prime} = 0 = \begin{vmatrix} a_{21} x_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{21} x_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} x_2 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \tag{7}$$

 

 

이와 같은 방식으로 다른 열과 \( 1 \)열을 중복시킨 행렬들을 만들어도 그 행렬식은 \( 0 \)이되고 이렇게 만들어진 행렬식들을 식 (4)에 더해버리면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$ x_1 D = \begin{vmatrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} x_1 + a_{n2} x_2 + \cdots + a_{nn} x_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \tag{8}$$

식 (8)에서 \(1 \)열에 \( x_1 \)에 의존하는 항을 뺀 나머지 추가로 들어온 항들은 \( 0 \)임을 상기하자.

 

그런데 식 (8)에서 \( 1 \)열들은 식 (1)에서 썼었던 1차 방정식들이었다. 따라서 식 (8)은 다음과 같이 써지게 된다.

$$ x_1 D = \begin{vmatrix} m_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ m_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \tag{9}$$

 

식 (9)에서 행렬식 \( D \)는 어떤 숫자이기 때문에 그냥 나줘주면 다음과 같이 \( x_1 \)의 값을 구할 수 있다.

$$ x_1 = \frac{1}{D} \begin{vmatrix} m_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ m_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \tag{10}$$

 

이를 다른 변수에 대해서도 마찬가지로 적용시켜 풀 수 있고 이런 연립 방정식의 해를 구하는 방법 크레머 법칙(Cramer's rule)이라고 부른다.

 

다만 크레머 법칙을 쓸 때 항상 주의해야 할 점은 이 식을 유도하는데 있어서 가정한 것은 \( D \neq 0 \)이라는 점이다. 그래서 먼저 구하려는 행렬이 이 성질을 가지는가를 확인해야 크레머 법칙의 순서를 따라갈 수 있다.

 

행렬식의 성질과 표현 - 부가적인 성질

행렬식의 성질과 표현 - 행렬 성분의 교차