2차원 등가속도 직선 운동 - 포물선 운동

이번엔 아주 간단한 2차원 등가속도 직선 운동(linear motion with constant acceleration) 문제로 일정한 중력(gravitation) 아래에서 움직이는 물체를 다뤄보자.

 

먼저 우리는 물체가 속력(speed) \( v_0 \)로 지표면과 \( \theta \) 각도를 이루는 방향으로 쏘아진 상황을 가정해보자. 그렇다면 이 물체의 속도 벡터(velocity vector)는 다음과 같이 직교(orthogonal) 성분으로 분해할 수 있다.

$$ \vec{v} = v_0 \cos \theta \hat{x} + v_0 \sin \theta \hat{y} \tag{1}$$

처음 출발 지점을 원점으로 잡았다.

 

이제 물체에 작용하는 힘(force)을 분석해보자. 중력은 지표면에 직교(perpendicular)하는 방향으로 작용하고 우리가 지표면을 \( x \) 방향으로 잡기 때문에 다음과 같은 힘 벡터를 쓸 수 있다.

$$\vec{F} = - mg \hat{y} \tag{2}$$

 

이 힘을 각각의 방향에 대한 함수로 바꿔보자.

$$F_x = m \ddot{x} = 0 \tag{3}$$

$$F_y = m \ddot{y} = -mg \tag{4}$$

 

 

식 (3)에서 질량(mass)을 소거하고 시간에 대해서 적분(integral)해서 \( x \) 방향 속도 성분을 찾을 수 있다. 이때 적분 상수(integral constant)는 물리적으로 말이 되는 상황이 될 수 있게 식 (1)의 초기 속도 성분을 사용하자.

$$ \ddot{x} = 0 \; \Rightarrow \; \dot{x} = v_x = v_0 \cos \theta \tag{5}$$

 

식 (5)처럼 잡아줘야 \( 0 \)초일 때의 속도 성분이 초기 성분과 동일하다. 심지어 식 (5)를 통해서 \( x \) 방향으로는 등속도 운동(motion with constant velocity)을 한다는 사실을 유추할 수 있다.

 

이번엔 식 (4)를 마찬가지로 질량을 소거하고 적분해주자.

$$ \ddot{y} = - g \; \Rightarrow \; \dot{y} = v_y = -g t + v_0 \sin \theta \tag{6}$$

 

식 (6)의 결과를 통해서 \( y \) 방향으로는 등가속도 직선 운동을 함을 알 수 있다. 그리고 현재 이 식은 시간에 대한 1차 함수임을 기억해두자.

 

 

이번엔 식 (5)와 식 (6)을 적분해서 원점에 대한 변위(displacement)를 구할 수 있다. 적분 상수는 초기 위치가 원점이므로 전부 \( 0 \)으로 잡아주면 된다.

 

적분을 진행하면 다음과 같다.

$$x(t) = \left( v_0 \cos \theta \right) t \tag{7}$$

$$y(t) = - \frac{1}{2}g t^2 + \left( v_0 \sin \theta \right) t \tag{8}$$

 

식 (7)을 보면 사실 그냥 직선 운동(linear motion)이기 때문에 별다른 특이 사항은 없다. 하지만 식 (8)은 시간에 대한 2차 함수가 나타난다. 2차 함수가 특별한 이유는 \( x \) 좌표를 다음과 같이 변형해서 식 (8)에 대입해보자.

$$ t = \frac{x}{v_0 \cos \theta} \tag{9}$$

$$ \therefore y = - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} x^2 + \tan \theta x \tag{10}$$

 

식 (10)을 다음과 같이 변형해보자.

$$ y = - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} \left[ x^2 - \frac{2 v_0^2 \cos \theta \sin \theta}{g} x + \left( \frac{v_0^2 \cos \theta \sin \theta}{g} \right)^2 - \left( \frac{v_0^2 \cos \theta \sin \theta}{g} \right)^2 \right] \tag{11}$$ 

여기서 \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)임을 사용했다.

 

식 (11)을 다음과 같이 깔끔히 정리해보자.

$$ y = - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \theta} \left(x - \frac{v_0^2 \cos \theta \sin \theta}{g} \right)^2 + \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} \tag{12}$$

 

식 (12)는 초점(focus)이 다음과 같은 좌표에 있는 포물선(parabola)의 방정식이다. 그래서 이 운동을 포물선 운동(parabolic motion)이라고 부른다.

$$\begin{pmatrix} \frac{v_0^2 \cos \theta \sin \theta}{g} & \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}  \end{pmatrix} \tag{13}$$

 

 

이제 이 물체의 운동을 좀 더 자세히 분석해보자. 먼저 \( y \) 좌표는 시간에 대한 2차 방정식으로 이루어져있기 때문에 \( y = 0\)인 즉, 바닥에 닿는 지점의 해가 2개 존재한다.

 

식 (8)을 풀어보면 해는 다음과 같이 두 개에 존재한다. 이때 \( t = 0\)인 해는 처음 출발할 때이며 나머지 해는 물체가 포물선 운동을 하고 지표면에 닿은 시간이 된다.

$$ t = 0 \quad \text{and} \quad t = \frac{2 v_0 \sin \theta}{g} \tag{14}$$

 

식 (14)에서 포물선 운동을 하고 지표면에 닿은 시간을 식 (7)에 대입하면 물체가 포물선 운동을 하면서 \(x\) 방향으로 간 거리가 된다.

$$ x = \frac{2 v_0^2 \sin \theta \cos theta}{g} = \frac{v_0^2 \sin 2 \theta}{g} \tag{15}$$

 

포물선의 대칭 모양을 생각해 봤을 때 \( x \) 방향 거리의 중간에 포물선의 초점이 존재하며 식 (13)과 비교하면 정확함을 알 수 있다.

 

또한 이런 대칭 모양을 이용해서 초점의 순간이 최대 높이가 된다. 이를 식 (13)을 이용해서 구하면 다음과 같다.

$$y_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g} \tag{16}$$