행렬식의 성질과 표현 - 행렬 성분의 교차

다음과 같은 행렬식(determinant)을 생각해보자.

$$ \det A = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{1}$$

 

만약 행렬(matrix) \( A \) 두 행(column) 또는 열(row)의 자리를 바꾼 행렬의 행렬식을 생각해보자. 이러한 변화를 준 행렬을 \( A^{\prime} \)이라 하면 다음과 같은 모습을 의미하게 된다.

$$ \det A^{\prime} = \begin{vmatrix} A_{12} & A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ A_{22} & A_{21} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n2} & A_{n1} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{2}$$

지금보면 1열과 2열의 자리를 바꿨음을 알 수 있다.

 

식 (2)의 행렬식과 식 (1)의 행렬식 사이의 관계를 알아보자. 먼저 식 (1)의 행렬식을 라이프니츠 공식(Leibniz formula)를 이용해서 써보자.

$$ \det A = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma_i} \right) \tag{3}$$

 

이번엔 \( A^{\prime} \)의 행렬식을 써보자.

$$ \det A^{\prime} = \sum_{\sigma \in S^{\prime}_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma_i} \right) \tag{4}$$

 

식 (3)과 식 (4) 사이에는 어떠한 차이점도 없는 것처럼 보인다. 이는 치환군(permutation) \( S_n \)을 \( S_n^{\prime} \)으로 바꾸면서 모든 변화를 넣어줬기 때문이다.

 

그러나 분명히 치환군을 바꾸면서 짝수 치환(even permutaiton)과 홀수 치환(odd permutation)에 변화가 생겼다. 즉, 숫자 순서를 바꾸면서 행렬식을 구하는 과정에서 배정해주는 \( (+1) \)과 \( (-1) \)이 뒤바뀐 열이 생성된다.

 

이 열을 중심으로 여인수(cofactor)를 잡게 되면 \( \pm \)이 뒤집힌 상태로 행렬식을 구하게 된다. 따라서 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$ \det A = - \det A^{\prime} \tag{5}$$

 

식 (5)는 한 번 바꿨을 때 일어나는 일이므로 똑같은 행동을 두 번 한다면 다시 \( (-1) \)이 곱해짐을 알 수 있다. 따라서 두 번 바꾼 행렬을 \( A^{\prime \prime} \)이라 하면 다음과 같다.

$$ \det A = \det A^{\prime \prime} \tag{6}$$

 

정말로 이 성질이 만족하는지 \( 3 \times 3 \) 행렬을 예시로 한 번 확인해보자. 다음과 같은 행렬식을 정의하자.

$$\det A = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{vmatrix} \tag{7}$$

 

행렬식을 계산하면 다음과 같다. 방법은 자유롭게 택해도 되지만 나는 \( 1 \)열을 잡고 여인수들을 이용해서 구한다.

$$\begin{matrix} \det A & = & A_{11} \begin{vmatrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{vmatrix} - A_{12} \begin{vmatrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{vmatrix} + A_{13} \begin{vmatrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{vmatrix} \\ & = & A_{11} \left( A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32} \right) - A_{12} \left( A_{21} A_{33} - A_{23} A_{31} \right) + A_{13} \left( A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31} \right) \end{matrix} \tag{8}$$

 

이번엔 한 행을 바꿔서 다음과 같은 행렬식을 정의하자. 열을 바꿔도 상관은 없다.

$$\det A^{\prime} = \begin{vmatrix} A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{vmatrix} \tag{9}$$

 

식 (9)의 행렬식을 마찬가지로 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{matrix} \det A^{\prime} & = & A_{21} \begin{vmatrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{vmatrix} - A_{22} \begin{vmatrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{vmatrix} + A_{23} \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{vmatrix} \\ & = & A_{21} \left( A_{12} A_{33} - A_{13} A_{32} \right) - A_{22} \left( A_{11} A_{33} - A_{13} A_{31} \right) + A_{23} \left( A_{11} A_{32} - A_{12} A_{31} \right) \end{matrix} \tag{10}$$

 

식 (10)을 재배열하면 다음과 같은 식을 구할 수 있다.

$$\begin{matrix} \det A^{\prime} & = & A_{12} A_{21} A_{33} - A_{13} A_{21} A_{32} - A_{11} A_{22} A_{33} + A_{13} A_{31} \\ & & + A_{11} A_{23} A_{32} - A_{12} A_{23} A_{31} \\ & = & - A_{11} \left( A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32} \right) + A_{12} \left( A_{21} A_{33} - A_{23} A_{31} \right) - A_{13} \left( A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31} \right) \\ & = & - \det A \end{matrix} \tag{11}$$

 

두 번 교차에 대해선 \( A^{\prime} \) 행렬이 \( 1 \)번 교차한 것과 같기 때문에 식 (6)이 성립함은 자명하다.