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• 미분과 편미분의 간략한 정의

  수리물리 2024. 1. 8. 22:36

  이번 포스팅에서는 미분(derivative)에 대한 간단한 소개만 하고 넘어가려 한다. 미분의 중요한 성질은 고등학교 교육 과정에서 다루기 때문에 여기서는 간단하게 다룰 예정이다. 미분은 연속 함수(continuous function)에서 정의될 수 있는 연산으로 다음과 같은 특정한 극한(limitartion)을 의미한다. $$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f (x + h) - f(x)}{h} \tag{1}$$  해당 극한의 식을 살펴보면 연속 함수의 변수 $x$가 아주 조금 변할 때 함수값이 얼마만큼 변하는가에 대한 비율을 나타낸 것이다. 그래서 이 식이 기울기(slope)를 의미한다고 말한다. 본래 개념은 아주 약간 변했을 때 변화 정도를 보는 것이기 때문에 다음과 같은 표현법들을 ..

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• 연속 함수의 정의와 성질

  수리물리 2023. 4. 14. 02:30

  이번에는 물리학에서 가장 많이 다루는 연산 중 하나인 미분(derivative)와 적분(integral)을 체계적으로 다뤄보기 위해 먼저 필요한 개념인 연속성(continuity)를 다뤄보도록 하자. 가장 먼저 실함수(real function)의 연속성은 다음과 같이 정의된다.실수 집합(real number set) $X$와 $Y$가 있다. $X$의 부분 집합(subset) $E$에 대해서 $E$를 정의역(domain), $Y$를 공역(codomain)으로 하는 함수 $f$가 존재한다. $p \in E$에 대해 다음과 같은 조건을 만족하면 $p$에서 연속(continuous)라고 한다.모든 가능한 양수(positive number) \(\epsilon..

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• 테일러 급수와 매클로린 급수

  수리물리 2023. 3. 15. 01:11

  지난 글에서 다음과 같이 어떤 거듭제곱 급수(power series)로 쓰여진 함수에 대해서 다뤘었다. 사실 이는 다항식(polynomial)을 의미한다. $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots \tag{1}$$  어떤 함수를 거듭제곱 급수 형태로 쓸려고 할 때 급수의 계수(coefficient)를 어떻게 설정할 것이냐가 중요하다. 유일성 정리(uniqueness theorem)에 의해 급수의 계수는 하나로 정해지는데 그 계수를 구하는 방법 중 가장 많이 쓰는 방법인 테일러 전개(Taylor expansion)에 대해 다뤄보자.  먼저 유일성 정리의 증명 과정에서 함수가 균등 수렴(uniform convergence)한다..

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• 행렬의 기초 - 역행렬

  수리물리 2023. 3. 10. 17:17

  이전에 행렬(matrix)의 곱셈에 대한 항등원(identity)를 다뤘었다. 이 항등원을 단위 행렬(unit matrix)라고 부르고 대각 성분(diagonal element)가 전부 $1$이고 나머지 성분은 $0$인 행렬이었다. 항등원이 존재하기 때문에 행렬의 곱셈에 대한 역원(inverse)가 존재하는데 문제는 이 역원을 쉽사리 구할 수 없다. 그래서 긴 시간동안 역원을 유도하기 위한 성질들을 다뤘었다. 연산에서 역원이라는 것은 어떤 행렬 $A$와 $A$의 역원 $A^{-1}$이 존재해서 $A$와 $A^{-1}$을 곱할 경우 단위 행렬이 나와야 하는 행렬을 의미한다. $$A A^{-1} = I \tag{1}$$   식 (1)은 행렬 곱셈의 특성상 정사각 행..

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• 행렬식의 성질과 표현 - 크래머 법칙

  수리물리 2023. 3. 10. 15:50

  이번엔 행렬식(determinant)을 이용해서 선형 연립 방정식(linear simultaneous equation)을 푸는 방법인 크래머 법칙(Cramer's rule)을 알아보자. 먼저 $n$개의 변수(variable)로 이루어진 1차 방정식들의 경우 연립해서 모든 변수들의 해를 구하기 위해선 또다른 $n - 1$개의 1차 방정식들이 더 필요하다. 그래서 총 $n$개의 1차 방정식이 있어야 연립 방정식을 풀 수 있다. 따라서 다음과 같은 $n$개 변수로 이루어진 $n$개의 식을 만들 수 있다.$$ \begin{matrix} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n  & = & m_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} ..

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• 행렬식의 성질과 표현 - 부가적인 성질

  수리물리 2023. 3. 6. 02:30

  이번 글에서는 좀 더 부가적인 행렬식(determinant)의 성질에 대해서 정리해보도록 하겠다.  1. 행렬식의 스칼라 곱셈 다음과 같이 $n \times n$ 행렬(matrix) $A$의 행렬식을 생각해보자. 그리고 이 행렬식에 어떤 상수(constant) $c$를 곱해보자. $$\det A = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{1}$$ $$ c \det A = c \begin{vmatrix} A_..

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• 행렬식의 성질과 표현 - 행렬 성분의 교차

  수리물리 2023. 3. 2. 01:43

  다음과 같은 행렬식(determinant)을 생각해보자. $$\det A = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{1}$$  만약 행렬(matrix) $A$ 두 행(column) 또는 열(row)의 자리를 바꾼 행렬의 행렬식을 생각해보자. 이러한 변화를 준 행렬을 $A^{\prime}$이라 하면 다음과 같은 모습을 의미하게 된다.$$ \det A^{\prime} = \begin{vmatrix} A_{12} & A..

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• 행렬식의 성질과 표현 - 라이프니츠 공식, 행렬식 곱셈

  수리물리 2023. 2. 25. 04:04

  1. 라이프니츠 공식(Leibniz formula) 어떤 행렬 $A$의 행렬식을 $\det A$라고 표현했었다. 이번에는 라이프니츠 공식을 이용해서 행렬식을 간단하게 쓰는 방법을 소개한다. 전체적인 계산은 지난 행렬식 글에서와 동일하기 때문에 바로 공식만 사용한다. $n \times n$ 행렬에 대해서 다음과 같다. $$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma_i} \right) \tag{1}$$  여기서 $S_n$은 치환군(permutation)을 의미한다. $n$개의 숫자가 나열하는 경우의 수를 담은 집합으로 $n !$개의 원소(element)를 가진다. 원..

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