수리물리
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벡터, 정확히 알고 있나요? 벡터의 성질수리물리 2023. 1. 26. 21:25
지난 글에서는 고등학교 과정에서 일반적으로 배우는 유클리드 벡터(Euclidean vector)를 넘어서 일반적인 벡터의 정확한 수학적 정의가 무엇인지 살펴봤다. 이번 글에서는 벡터의 정의에서 기인하는 벡터의 몇가지 성질들과 성질을 나타내는 정의들을 정리해보려고 한다. 다만 이번 글에서 다룰 대상은 유클리드 벡터로 한정짓겠다. 물리학에서도 많은 경우 유클리드 벡터를 다루며 다른 정의가 필요한 경우는 그때가서 정의를 새로 살펴볼 계획이다. 1. 벡터의 크기(magnitude) 크기가 부여된 벡터 공간(vector space)의 경우 해당 공간의 원소(element)들을 대상으로 크기를 정의할 수 있다. 임의의 벡터 \( \vec{A} \)에 대해 이 벡터의 크기는 다음과 같이 표현한다.$$ |\vec{A..
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급수의 수렴과 발산 판정법 (4)수리물리 2023. 1. 26. 10:50
이번에는 자주 쓰이는 판정법은 아니지만 몇 가지 자잘한 판정법을 소개해보려고 한다. 1. 쿠머 판정법(Kummer test) 쿠머 판정법은 모든 항이 양수인 수열(sequence) \( a_n \)에 대해서 다른 보조 수열(auxiloary sequence) \( \zeta_n > 0 \)이 있어서 이 보조 수열을 응용해서 \(a_n\)의 급수(series)의 수렴성을 판정한다. 구체적으로 다음과 같은 부등식이 성립한다면 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)은 수렴한다.$$ r = \liminf_{n \rightarrow \infty} \left( \zeta_n \frac{a_n}{a_{n+1}} - \zeta_{n+1} \right) > 0 \tag{1}$$이때 \( \liminf \..
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벡터, 정확히 알고 있나요? 수학적 정의수리물리 2023. 1. 20. 20:02
이번에는 잠시 벡터(vector)에 대한 설명을 진행하려고 한다. 현대 물리학에서 물리량들을 구분하는 가장 중요한 수학이기 때문에 잠시 정리를 해보려고 한다. 물리학에서 사용하는 벡터에는 위치(position), 속도(velocity), 가속도(acceleration), 힘(force), 운동량(momentum), 전기장(electric field), 자기장(magnetic field) 등이 있으며 이 외에도 셀 수 없이 많고 앞으로도 더 나올 것이다. 고등학교 수학 시간에는 벡터를 크기와 방향을 가지는 물리량이라고 설명한다. 물론 이 설명 방법은 벡터의 성질을 잘 담고 있긴 하다. 하지만 이는 유클리드 공간(Euclidean space)에서 성립하는 개념으로 유클리드 벡터(Euclidean vecto..
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급수의 수렴과 발산 판정법 (3)수리물리 2023. 1. 9. 19:52
1. 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test) 코시의 응집 판정법은 단조 감소 수열의 경우 몇 개의 항의 특성을 이용해서 수렴과 발산을 판정하는 방법이다. 대표적으로 다음과 같은 조화 급수(harmonic series)를 증명하는데 쓰인다. 아니 오히려 조화 급수 때문에 유명한 판정법일 수도 있다.$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \text{diverge} \tag{1}$$ 다음과 같이 급수를 나열한 식을 생각해보자.$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \cdots \tag{2}$$ 이때 2의 제곱수로 이루어진 항을 이용해 다음과 같은 구성의 급수를 추가로 생각해 볼..
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급수의 수렴과 발산 판정법 (2)수리물리 2022. 12. 27. 01:52
지난 글에서 급수의 수렴과 발산 판정법 일부를 봤었다. 이번에는 그에 이어서 다른 판정법들을 보고자 한다. 1. 달랑베르 비율 판정법(D'Alembert Ratio Test) 달랑베르 비율 판정법은 수열의 인접 두 항의 비율을 통해서 급수의 수렴과 발산을 판정하는 방법이다. \( a_n \neq 0 \)인 경우 충분히 큰 \( n \)에 대해서 다음과 같은 비율을 고려해본다.$$\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = a \tag{1}$$ 이때 \( n \)과 관계없는 \( r \)에 대해서 \( a \le r 먼저 \( a > 1 \)에 대해 충분히 \( n \)이 클 경우 \( |a_{n+1}| > |a_n| \)이기 때문에..
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급수의 수렴과 발산 판정법 (1)수리물리 2022. 12. 21. 00:59
지난 글에서 급수란 무엇인지 그리고 급수의 수렴에 대한 정의를 봤었다. 일반적으로 다루는 급수는 수렴하는 급수고 우리에게 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 어떻게 알 수 있는지 현재까지 알려진 방법을 소개해보려고 한다. 1. 비교 판정법(Comparison Test) 비교 판정법은 어떤 임의의 정해진 자연수 \(n \in \mathbb{N}\)에 대해 \(0 \le |a_n| \le b_n\)이 성립하는 두 수열을 가정한다. 즉, 다시 말해서 같은 항일 경우 수열 \(b_n\)이 더 큰 경우를 의미한다. 만약 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)이 수렴하면 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하고 반대로 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 발산하면 ..
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수열과 급수수리물리 2022. 12. 12. 00:38
이번 글에서는 대부분의 수리 물리학 교재에서 첫 장으로 설명하는 수열과 급수에 대해서 다뤄보고자 한다. 이후 한동안은 다른 책들에서와 같이 급수를 이용한 함수 분석법을 다뤄볼 예정이다. 어떤 자연수가 실수에 대응되는 함수를 수열(sequence)이라고 한다.$$ f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \tag{1} $$ 이때 임의의 자연수 \( n \)에 대응되는 함수값을 \( f(n) = x_n \)으로 표현하고 이를 수열의 \( n \)번째 항이라고 한다. \( n \)을 무한히 키워가면서 수열의 합을 생각할 수 있고 이를 급수(series)라고 정의한다.$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} x_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \cdo..