행렬식의 성질과 표현 - 라이프니츠 공식, 행렬식 곱셈

1. 라이프니츠 공식(Leibniz formula)

 

어떤 행렬 \( A \)의 행렬식을 \( \det A \)라고 표현했었다. 이번에는 라이프니츠 공식을 이용해서 행렬식을 간단하게 쓰는 방법을 소개한다.

 

전체적인 계산은 지난 행렬식 글에서와 동일하기 때문에 바로 공식만 사용한다. \( n \times n\) 행렬에 대해서 다음과 같다.

$$\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn}(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma_i} \right) \tag{1}$$

 

여기서 \( S_n \)은 치환군(permutation)을 의미한다. \( n \)개의 숫자가 나열하는 경우의 수를 담은 집합으로 \( n !\)개의 원소(element)를 가진다.

 

원소가 3개인 경우 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$S_3 = \left\{ (123) \; (231) \; (312) \; \text{and} \; (132) \; (321) \; (213)  \right\} \tag{2}$$

 

특히 식 (2)의 집합 중 숫자가 순서대로 나열된 \( (123) \) 경우에서 숫자들의 자리를 짝수번 바꿔서 만든 \( (231) \)과 \( (312) \)를 짝수 치환(even permutation), 홀수번 바꿔서 만든 \( (132) \), \( (321) \), \( (213) \) 등은 홀수 치환(odd permutation)이라 한다.

 

여기서 부호 함수(sign function) \( \rm{sgn} \)은 \( S_n \)의 원소 \( \sigma \)가 짝수 치환이면 \( (+1) \)이 홀수 치환이면 \( (-1) \)이 되도록 정의한다.

 

사실 이 방법이 레비-시비타 기호(Levi-Civita symbol)을 만드는 중요 원리가 된다. 저 모든 복잡한 과정을 한 기호로 축약 시킨 것이 된다.

 

실제로 \( n = 3\)인 경우에 대해서 식 (1)을 풀어보자. 다음과 같이 식이 정리된다.

$$ \det A = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) A_{1, \sigma_1} A_{2, \sigma_2} A_{3, \sigma_3} \right) \tag{3}$$

 

먼저 \( \sigma = (123) \)에 대해선 \( sgn = (+1) \)이 된다. 따라서 다음과 같은 항이 나타난다.

$$ \det A (\sigma = (123)) = A_{11} A_{22} A_{33} \tag{4}$$

 

나머지 짝수 치환에 대해서도 적용하면 다음과 같다.

$$ \det A (\sigma = (231)) = A_{12} A_{23} A_{31} \tag{5}$$

$$ \det A (\sigma = (312)) = A_{13} A_{21} A_{32} \tag{6}$$

 

홀수 치환들에 대해선 다음과 같다.

$$ \det A (\sigma = (132)) = - A_{11} A_{23} A_{32} \tag{7}$$

$$ \det A (\sigma = (321)) = - A_{13} A_{22} A_{31} \tag{8}$$

$$ \det A (\sigma = (213)) = - A_{12} A_{21} A_{33} \tag{9}$$

 

따라서 최종적으로 다음과 같이 정리가 되며 공식이 실제 행렬식과 잘 일치한다.

$$\det A = A_{11} A_{22} A_{33} + A_{12} A_{23} A_{31} + A_{13} A_{21} A_{32} - A_{11} A_{23} A_{32} - A_{13} A_{22} A_{31} - A_{12} A_{21} A_{33} \tag{10}$$

 

 

2. 행렬식의 곱셈

 

이번엔 행렬식이 가지는 특성 중 우리가 먼저 유용하게 사용할 계산 법칙을 소개한다. 행렬 \( A \)와 \(B\)의 곱에 대한 행렬식은 다음과 같은 성질을 가진다.

$$ \det (AB) = \det (BA) = \det A \det B \tag{11}$$

 

이 공식을 유도하는 것은 라이프니츠 공식을 이용해서 복잡한 과정을 거쳐야 한다. 먼저 \( AB \)의 행렬식을 라이프니츠 공식으로 바꿔 쓰자.

$$ \det AB = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n (AB)_{i, \sigma_i} \right) = \sum_{\sigma \in S_n} \left[ \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{j, \sigma_i} \right)  \right] \tag{12}$$

 

곱기호(product)와 합기호(summation)의 순서를 바꿔보자. 더하고 곱하는 행동과 곱하고 더하는 행동은 서로 교환(commute)이 안되지만 이를 등호가 성립하도록 잘 처리한 어떤 \( k \)라는 변수가 있다고 생각하자.

 

\( k \) 변수는 덧셈을 한 뒤 곱한 식을 전개한 모든 식의 항을 커버하기 때문에 우리는 이를 \( n \)개의 숫자를 나열하는 또다른 치환군임을 알 수 있다. 즉, 가능한 모든 항들의 조합 형태는 순열(permutation) 문제로 바꿀 수 있다. 우리가 전개식을 쓸 때 순열을 이용해서 표현할 수 있음을 상기하자.

 

따라서 식 (12)를 다음과 같은 공식으로 정리할 수 있다.

$$ \det AB = \sum_{\sigma \in S_n} \left[ \rm{sgn} (\sigma) \sum_{k \in S_n} \left( \prod_{i=1}^n A_{i, k_i} B_{k_i, \sigma_i} \right) \right] \tag{13}$$

 

그리고 마지막으로 합기호는 서로 교환 가능하므로 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$ \det AB = \sum_{k \in S_n} \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, k_i} B_{k_i, \sigma_i} \right) \tag{14}$$

 

 

곱기호는 단순하게 서로 분리가 가능하므로 다음과 같이 써보자.

$$ \det AB = \sum_{k \in S_n} \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, k_i} \prod_{j = 1}^n B_{k_j, \sigma_j} \right) \tag{15}$$

 

이번엔 \( k_j \)와 \( \sigma_j \)는 순열에 의해 만들어지는 조합들이므로 이를 잘 표현할 수 있는 새로운 기호를 도입해서 \( B \)에 대한 식을 바꿔보자. 전개한 식을 잘 표현할 수 있다면 어떤 문자를 사용하는 가는 중요한 문제가 아니다. \( A \)는 \( k \)에 대한 합만 관여하므로

$$ \det AB = \left( \sum_{k \in S_n} \prod_{i=1}^n A_{i, k_i} \right) \left( \sum_{p \in S_n} \prod_{l = 1}^n B_{l, p_l}  \right) = \det A \det B \tag{16}$$

 

이 과정을 거꾸로 간다면 결국 \( \det AB = \det BA\)가 된다는 것도 쉽게 보일 수 있다.

 

 

 

행렬의 기초 - 단위 행렬과 행렬식

 

행렬의 기초 - 여러가지 행렬의 연산과 성질 (1)