미분과 편미분의 간략한 정의

 

이번 포스팅에서는 미분(derivative)에 대한 간단한 소개만 하고 넘어가려 한다. 미분의 중요한 성질은 고등학교 교육 과정에서 다루기 때문에 여기서는 간단하게 다룰 예정이다.

 

미분은 연속 함수(continuous function)에서 정의될 수 있는 연산으로 다음과 같은 특정한 극한(limitartion)을 의미한다.

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f (x + h) - f(x)}{h} \tag{1}$$

 

해당 극한의 식을 살펴보면 연속 함수의 변수 $x$가 아주 조금 변할 때 함수값이 얼마만큼 변하는가에 대한 비율을 나타낸 것이다. 그래서 이 식이 기울기(slope)를 의미한다고 말한다.

 

본래 개념은 아주 약간 변했을 때 변화 정도를 보는 것이기 때문에 다음과 같은 표현법들을 사용한다.

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} \tag{2}$$

 

이때 식 (2)의 마지막 부분은 아주 조금 변한 변화량들의 비율을 의미하며 라이프니츠(Leibniz)가 제안한 표현 방법이다. 뉴턴(Newton)의 표현법을 빌리면 다음과 같이 쓰기도 한다.

$$ \frac{dy}{dx} = y^{\prime} = f^{\prime} (x) \tag{3}$$

 

고드프리 라이프니츠

 

 

미분은 결국 특수한 형태의 극한이기 때문에 그 값이 잘 정의되지 않을 수도 있고 발산할 수도 있다. 이를 판별하는 방법은 극한에서 극한값이 잘 정의되는 방법과 동일하다.

$$\lim_{h \rightarrow 0 + \epsilon} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0 - \epsilon} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \tag{4}$$

 

연속 함수들 중에서 식 (4)의 조건을 만족하는 함수들을 미분 가능 함수(differentiable function)이라고 부른다. 이를 만족하지 못하면서 연속인 대표적인 사례로 절대값 함수(absolute function)이 있다.

 

라이프니츠 표현법을 빌려서 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$$d f = f(x + dx)  - f(x) = \frac{df}{dx}dx \tag{4}$$

 

이는 어떤 함수가 아주 조금 변할때 그 변량(variation)을 의미하며 라그랑주 역학(Lagrange mechanics) 등을 기술할 때 유용한 점이 있다.

 

평균값 정리(mean value theorem)에 의하면 식 (4)에 있는 $\frac{d f}{dx}$는 구간(interval) $[x, x+dx]$ 사이의 어떤 값 $a$와 일치하는 값을 가진다.

 

여기에 $dx \rightarrow 0$인 극한을 취하게 된다면 $a = x$가 되어서 식 (4)가 성립함을 알 수 있다.

 

 

 

다변수 함수의 변량은 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\begin{matrix} df & = & f(x + dx, y+dy, z+dz) - f(x, y, z) \\ & = & [f(x+dx, y+dy, z+dz) - f(x, y+dy, z+dz)] \\ && + [f(x, y + dy, z+dz) - f(x, y, z + dz)] \\ && +[f(x, y, z+dz) - f(x, y, z)] \\ & = & \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz \end{matrix} \tag{5}$$

 

식 (5)에서 알 수 있듯이 다변수 함수의 미분은 특정 변수만 변하고 나머지 변수들은 고정된 상태로 간주하는 방식으로 식을 전개할 수 있다.

 

대표적으로 $f(x, y+dy, z+dz) - f(x, y, z+dz)$ 항의 경우 $x$와 $z$는 고정되어 있고 $y$만 변하는 상황을 나타낸 항이다.

 

이러한 미분을 편미분(partial derivative)라고 부르며 $\partial$ 기호를 이욯해서 다르게 기술하는 경우가 많다.

 

 

 

마지막으로 편미분의 경우 미분하는 함수가 2번 미분이 가능한 매끄러운 함수(smooth function)라면 서로의 편미분을 교환할 수 있다.

$$\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} \tag{6}$$

 

이 정리의 경우 편미분의 정의를 이용하면 아주 간단하게 증명이 가능하다.