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  • 미분과 편미분의 간략한 정의
    수리물리 2024. 1. 8. 22:36
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    이번 포스팅에서는 미분(derivative)에 대한 간단한 소개만 하고 넘어가려 한다. 미분의 중요한 성질은 고등학교 교육 과정에서 다루기 때문에 여기서는 간단하게 다룰 예정이다.

     

    미분은 연속 함수(continuous function)에서 정의될 수 있는 연산으로 다음과 같은 특정한 극한(limitartion)을 의미한다.

    lim

     

    해당 극한의 식을 살펴보면 연속 함수의 변수 x가 아주 조금 변할 때 함수값이 얼마만큼 변하는가에 대한 비율을 나타낸 것이다. 그래서 이 식이 기울기(slope)를 의미한다고 말한다.

     

    본래 개념은 아주 약간 변했을 때 변화 정도를 보는 것이기 때문에 다음과 같은 표현법들을 사용한다.

    (2)limh0f(x+h)f(x)h=limϵ0ΔyΔx=dydx

     

    이때 식 (2)의 마지막 부분은 아주 조금 변한 변화량들의 비율을 의미하며 라이프니츠(Leibniz)가 제안한 표현 방법이다. 뉴턴(Newton)의 표현법을 빌리면 다음과 같이 쓰기도 한다.

    (3)dydx=y=f(x)

     

    고드프리 라이프니츠

     

     

    미분은 결국 특수한 형태의 극한이기 때문에 그 값이 잘 정의되지 않을 수도 있고 발산할 수도 있다. 이를 판별하는 방법은 극한에서 극한값이 잘 정의되는 방법과 동일하다.

    (4)limh0+ϵf(x+h)f(x)h=limh0ϵf(x+h)f(x)h

     

    연속 함수들 중에서 식 (4)의 조건을 만족하는 함수들을 미분 가능 함수(differentiable function)이라고 부른다. 이를 만족하지 못하면서 연속인 대표적인 사례로 절대값 함수(absolute function)이 있다.

     

    라이프니츠 표현법을 빌려서 다음과 같이 쓸 수도 있다.

    (4)df=f(x+dx)f(x)=dfdxdx

     

    이는 어떤 함수가 아주 조금 변할때 그 변량(variation)을 의미하며 라그랑주 역학(Lagrange mechanics) 등을 기술할 때 유용한 점이 있다.

     

    평균값 정리(mean value theorem)에 의하면 식 (4)에 있는 dfdx는 구간(interval) [x,x+dx] 사이의 어떤 값 a와 일치하는 값을 가진다.

     

    여기에 dx0인 극한을 취하게 된다면 a=x가 되어서 식 (4)가 성립함을 알 수 있다.

     

     

     

    다변수 함수의 변량은 다음과 같이 구할 수 있다.

    (5)df=f(x+dx,y+dy,z+dz)f(x,y,z)=[f(x+dx,y+dy,z+dz)f(x,y+dy,z+dz)]+[f(x,y+dy,z+dz)f(x,y,z+dz)]+[f(x,y,z+dz)f(x,y,z)]=fxdx+fydy+fzdz

     

    식 (5)에서 알 수 있듯이 다변수 함수의 미분은 특정 변수만 변하고 나머지 변수들은 고정된 상태로 간주하는 방식으로 식을 전개할 수 있다.

     

    대표적으로 f(x,y+dy,z+dz)f(x,y,z+dz) 항의 경우 xz는 고정되어 있고 y만 변하는 상황을 나타낸 항이다.

     

    이러한 미분을 편미분(partial derivative)라고 부르며 기호를 이욯해서 다르게 기술하는 경우가 많다.

     

     

     

    마지막으로 편미분의 경우 미분하는 함수가 2번 미분이 가능한 매끄러운 함수(smooth function)라면 서로의 편미분을 교환할 수 있다.

    (6)yfx=xfy

     

    이 정리의 경우 편미분의 정의를 이용하면 아주 간단하게 증명이 가능하다.

     

     

     

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