연속 함수의 정의와 성질

이번에는 물리학에서 가장 많이 다루는 연산 중 하나인 미분(derivative)와 적분(integral)을 체계적으로 다뤄보기 위해 먼저 필요한 개념인 연속성(continuity)를 다뤄보도록 하자.

 

가장 먼저 실함수(real function)의 연속성은 다음과 같이 정의된다.

실수 집합(real number set) $X$와 $Y$가 있다. $X$의 부분 집합(subset) $E$에 대해서 $E$를 정의역(domain), $Y$를 공역(codomain)으로 하는 함수 $f$가 존재한다. $p\in E$에 대해 다음과 같은 조건을 만족하면 $p$에서 연속(continuous)라고 한다.

모든 가능한 양수(positive number) $ϵ>0$과 정의역의 모든 원소 $x\in E$에 대해 $|x-p|<\delta$이면 $|f(x)-f(p)|<ϵ$을 성립하게 하는 양수 $\delta$가 항상 존재한다.

 

연속에 대한 정의를 좀 더 풀어 쓰자면 $ϵ$이 아무리 작은 양수라 할지라도 $Y$에 있는 원소(element)들 중에는 $ϵ$보다 더 짧은 거리를 가지는 두 원소가 존재한다.

 

그래서 어떤 $p$를 하나 잡는다면 $ϵ$이 아무리 작은 숫자라고 하더라도 $f(p)$와의 거리가 $ϵ$보다 작은 $f(x)$가 존재하고 따라서 $x$가 존재한다. 이를 $\delta$를 이용해서 설명했다.

 

왜 $ϵ$이 아주 작은 경우를 생각하냐면 아무리 짧은 거리를 생각하더라도 실수에서는 그 거리 안에 무한히 많은 숫자들이 들어있다. 이런 성질 때문에 위와 같은 논리가 성립할 수 있으며 이런 실수의 성질을 아르키메데스 성질(Archimedean property)라고 한다.

 

 

만약 우리가 정의한 함수 $f$가 정의역 $E$의 모든 원소들에서 연속이라면 우리는 $f$를 $E$에 대해 연속인 함수라고 부른다. 혹은 $f$를 연속 함수(continuous function)이라고 부른다.

 

위와 같은 연속성은 극한(limitation)을 이용해 다음과 같이 표현하기도 한다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{x\to p}{lim}f(x)=f(p)\end{array}$$

 

$x$가 $p$에 가깝게 다가가는 경우가 바로 $f(x)$와 $f(p)$ 사이의 거리가 아주 가까운 경우를 의미하는 것이며 아무리 가까운 $x$를 잡아도 실수 안에는 더 가까운 $x$가 반드시 존재한다.

 

 

연속 함수들 사이에 성립하는 몇가지 중요한 성질을 다뤄보자.

 

먼저 $X$의 부분 집합 $E$를 정의역으로 $Y$를 공역으로 가지는 함수 $f$에 대해 $f(x)$로 이루어진 치역(range)을 정의역으로 실수 집합 $Z$를 공역으로 가지는 함수 $g$가 있다고 해보자.

 

이 두 함수들에 대해 다음과 같은 함수 $h:E\to Z$를 정의할 수 있다. 이런 함수 $h$를 합성 함수(composite function)이라고 부른다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& h(x)=g(f(x))\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& h=g\circ f\end{array}$$

 

이때 $h$도 연속 함수이다. 이는 위에서 정의한 연속성을 두 번 사용해서 쉽게 보일 수 있다.

 

다음으로는 다음과 같이 연속 함수 $f$와 $g$로 만들어진 함수들도 연속 함수들이 된다. 이 또한 연속성의 정의를 이용해 쉽게 보일 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& f\pm g\text{is continuous}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& f\ast g\text{is continuous}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& f/g\text{is continuous}\end{array}$$

 

 

특히 다항식(polynomial), 삼각 함수(sinusoidal function), 지수 함수(exponential function), 로그 함수(logarithm function), 무리 함수(irrational function) 등은 전부 연속 함수이다.

 

이런 함수의 연속성은 함수의 미분을 만드는데 반드시 필요한 조건이 된다.