행렬식의 성질과 표현 - 행렬식 곱셈 정리

 

이번 글에서는 행렬(matrix)과 행렬식(determinant)을 다루는데 유용한 정리인 행렬식 곱셈 정리(determinant product theorem)를 보이려고 한다.

 

행렬식 곱셈 정리는 간단하게 말해서 $n\times n$인 두 행렬 $A$와 $B$가 있을 때 이 두 행렬을 곱해 만들어진 새로운 행렬 $AB$의 행렬식은 어떻게 구할 수 있는가에 대한 정리를 말한다.

 

사실 두 행렬을 그냥 곱한 다음 행렬식 구하는 방법을 이용해서 구하면 그만이다. 그런데 왜 따로 이런 정리가 필요할까? 먼저 이전 글에서 행렬 $AB$를 살펴보자.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}AB=& \\ & \left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}{B}_{11}+\cdots +A_{1n}{B}_{n1}& A_{11}{B}_{12}+\cdots +A_{1n}{B}_{n2}& \cdots & A_{11}{B}_{1n}+\cdots +A_{1n}{B}_{nn}\\ A_{21}{B}_{11}+\cdots +A_{2n}{B}_{n1}& A_{21}{B}_{12}+\cdots +A_{2n}{B}_{n2}& \cdots & A_{21}{B}_{1n}+\cdots +A_{2n}{B}_{nn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}{B}_{1}1+\cdots +A_{nn}{B}_{n1}& A_{n1}{B}_{12}+\cdots +A_{nn}{B}_{n2}& \cdots & A_{n1}{B}_{n1}+\cdots +A_{nn}{B}_{nn}\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

 

딱 봐도 알 수 있는 것은 행렬의 차수(order)가 커질 수록 $AB$ 행렬식을 구하기가 무척 어려워진다는 것이다. 열심히 계산하면 가능하겠지만 적어도 계산량이 어마어마함은 분명하다.

 

 

그래서 특정한 경우에 이 행렬식을 쉽게 구하는 방법이 있다. 조건은 $detA$와 $detB$를 미리 알고 있어야 한다. 혹은 두 행렬의 행렬식이 비교적 구하기 쉬울 경우 사용하면 유용하다.

 

먼저 행렬식의 부가적인 성질에서 행렬식 내부의 덧셈들은 다음과 같이 분리가 가능했음을 상기시켜 보자.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}+b_1& a_{12}+b_2& a_{13}+b_3\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\end{array}$$

 

또한 행렬식의 한 줄에 일정한 상수가 곱해질 경우 다음과 같이 행렬식이 주어짐도 같이 상기하자.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \left|\begin{array}{ccc}c{a}_{11}& c{a}_{12}& c{a}_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=c\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\end{array}$$

 

식 (2)를 이용해서 하나하나 식 (1) 행렬식을 분해할 수 있다. 이 작업을 일일히 타이핑을 한다면 가독성이 매우 떨어지기 때문에 간단한 $3\times 3$ 행렬부터 보이려 한다. 이 경우 식 (1)의 행렬식은 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \left|\begin{array}{ccc}{A}_{11}{B}_{11}+A_{12}{B}_{21}+A_{13}{B}_{31}& A_{11}{B}_{12}+A_{12}{B}_{22}+A_{13}{B}_{32}& A_{11}{B}_{13}+A_{12}{B}_{23}+A_{13}{B}_{33}\\ A_{21}{B}_{11}+A_{22}{B}_{21}+A_{23}{B}_{31}& A_{21}{B}_{12}+A_{22}{B}_{22}+A_{23}{B}_{32}& A_{21}{B}_{13}+A_{22}{B}_{23}+A_{23}{B}_{33}\\ A_{31}{B}_{11}+A_{32}{B}_{21}+A_{33}{B}_{31}& A_{31}{B}_{12}+A_{32}{B}_{22}+A_{33}{B}_{32}& A_{31}{B}_{13}+A_{32}{B}_{23}+A_{33}{B}_{33}\end{array}\right|\end{array}$$

 

이제 다음과 같은 벡터를 정의해보자.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\overrightarrow{A}}_j=\left(\begin{array}{c}{A}_{1j}\\ A_{2j}\\ A_{3j}\end{array}\right)\end{array}$$

 

그렇다면 식 (4)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(6)}& det{AB}_{3\times 3}=\left|\begin{array}{ccc}\sum _{j_1=1}^3{\overrightarrow{A}}_{j_1}{b}_{j_{1}1}& \sum _{j_2=1}^3{\overrightarrow{A}}_{j_2}{b}_{j_{2}2}& \sum _{j_3=1}^1{\overrightarrow{A}}_{j_3}{b}_{j_{3}3}\end{array}\right|\end{array}$$

 

이제 식 (6)를 식 (2)와 (3)을 이용해서 분해해보면 각각의 가능한 조합들을 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& det{AB}_{3\times 3}=\sum _{j_1=1}^3\sum _{j_2=1}^3\sum _{j_3=1}^3{b}_{j_{1}1}{b}_{j_{2}2}{b}_{j_{3}3}det({\overrightarrow{A}}_{j_1}{\overrightarrow{A}}_{j_2}{\overrightarrow{A}}_{j_3})\end{array}$$

 

이때 행렬식 기호 안의 벡터를 나열한 것은 벡터를 나열한 행렬을 의미한다. 다음과 같은 예시들을 표현한 것이다.

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{23}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3{\overrightarrow{A}}_2=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{21}& A_{31}& A_{21}\\ A_{22}& A_{32}& A_{22}\\ A_{23}& A_{33}& A_{23}\end{array}\right)\end{array}$$

 

 

그런데 행렬식의 성질에서 식 (9)와 같은 행렬의 행렬식은 $0$이 된다. 이는 행렬식의 교차 성질을 이용해서 보일 수 있다. 두 행이나 열을 서로 교환할 경우 행렬식에 $-1$이 추가로 곱해졌었다.

 

식 (9)의 첫째 열과 셋째 열을 교환할 경우 행렬은 변화가 없다. 따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

$$\begin{array}{}\text{(10)}& det({\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3{\overrightarrow{A}}_2)=det({\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3\overrightarrow{A_2})\end{array}$$

 

그러나 행을 교환할 경우 행렬식에 $-1$이 곱해지므로 이를 정리해서 다시쓰면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\begin{array}{}\text{(11)}& det({\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3{\overrightarrow{A}}_2)=-det({\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3\overrightarrow{A_2})\end{array}$$

 

식 (10)과 식 (11)이 성립하기 위해선 행렬식이 $0$이 될 수 밖에 없다.

 

 

이제 식 (7)을 가능한 조합에 따라 나열해보자.

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \begin{array}{r}\sum _{j_1=1}^3\sum _{j_2=1}^3\sum _{j_3=1}^3{b}_{j_{1}1}{b}_{j_{2}2}{b}_{j_{3}3}det({\overrightarrow{A}}_{j_1}{\overrightarrow{A}}_{j_2}{\overrightarrow{A}}_{j_3})\\ =& b_{11}{b}_{22}{b}_{33}det({\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3)+b_{11}{b}_{32}{b}_{23}det({\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_3{\overrightarrow{A}}_2)\\ & +b_{21}{b}_{12}{b}_{33}det({\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_3)+b_{21}{b}_{32}{b}_{13}det({\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3{\overrightarrow{A}}_1)\\ & +b_{31}{b}_{12}{b}_{23}det({\overrightarrow{A}}_3{\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_2)+b_{31}{b}_{22}{b}_{13}det({\overrightarrow{A}}_3{\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_1)\end{array}\end{array}$$

 

이번엔 위에서 행렬식의 열을 교환할시 $-1$이 더 곱해지는 원리를 이용해서 $detA=det({\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3)$의 형태로 바꿔보자.

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \begin{array}{r}\sum _{j_1=1}^3\sum _{j_2=1}^3\sum _{j_3=1}^3{b}_{j_{1}1}{b}_{j_{2}2}{b}_{j_{3}3}det({\overrightarrow{A}}_{j_1}{\overrightarrow{A}}_{j_2}{\overrightarrow{A}}_{j_3})\\ =& b_{11}{b}_{22}{b}_{33}det({\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3)-b_{11}{b}_{32}{b}_{23}det({\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3)\\ & -b_{21}{b}_{12}{b}_{33}det({\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3)+b_{21}{b}_{32}{b}_{13}det({\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3)\\ & +b_{31}{b}_{12}{b}_{23}det({\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3)-b_{31}{b}_{22}{b}_{13}det({\overrightarrow{A}}_1{\overrightarrow{A}}_2{\overrightarrow{A}}_3)\\ =& \sum _{j_1=1}^3\sum _{j_2=1}^3\sum _{j_3=1}^3{\epsilon }_{j_1{j}_2{j}_3}{b}_{j_{1}1}{b}_{j_{2}2}{b}_{j_{3}3}detA\end{array}\end{array}$$

 

그런데 식 (13)의 마지막 줄에서 \det{A}는 $A$라는 행렬에 의해 주어지는 행렬식으로 정해진 상수 역할을 하기 때문에 합기호와는 서로 독립적(independent)이다.

 

거기에 남은 상수 $b_{j_{n}n}$ 꼴의 합산을 보면 이는 $detB$의 정의와 일치한다. 따라서 최종적으로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(14)}& det{AB}_{3\times 3}=detAdetB\end{array}$$

 

식 (14)가 얻고자했던 행렬식의 곱셈 정리이다. 이를 $n\times n$ 행렬에 대해서도 똑같은 과정을 거쳐서 일반화 시키면 다음과 같은 관계식으로 변하게 된다.

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \begin{array}{rl}detAB=& \left|\begin{array}{cccc}\sum _{j_1=1}^n{\overrightarrow{A}}_{j_1}{b}_{j_{1}1}& \sum _{j_2=1}^n{\overrightarrow{A}}_{j_2}{b}_{j_{2}2}& \cdots & \sum _{j_n=1}^n{\overrightarrow{A}}_n{b}_{j_{n}n}\end{array}\right|\\ =& \sum _{j_1=1}^n\sum _{j_2=1}^n\cdots \sum _{j_n=1}^n{\epsilon }_{j_1{j}_2\cdots j_n}{b}_{j_{1}1}{b}_{j_{2}2}\cdots b_{j_{n}n}detA\\ =& detAdetB\end{array}\end{array}$$

 

 

이 정리를 이용해서 역행렬(inverse matrix)의 행렬식을 구하는 공식도 만들어낼 수 있다. 바로 항등 행렬(identity matrix)의 행렬식이 $1$이라는 사실을 이용한다.

$$\begin{array}{}\text{(16)}& det(A{A}^{-1})=detI=1\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& det(A{A}^{-1})=detAdet{A}^{-1}\end{array}$$

 

따라서 역행렬의 행렬식은 다음과 같이 원래 행렬의 행렬식의 역수가 됨을 알 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(18)}& det{A}^{-1}=\frac{1}{detA}\end{array}$$

 

추가적으로 $detA=0$인 행렬의 경우 식 (18)에 의해서 역행렬의 행렬식이 존재하지 않고 더 나아가 역행렬이 존재하지 않는다고 결론내릴 수 있다.

 

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