[기초 군론] 사상과 군

 

 

이번 토픽에서는 군론(group theory)에 대해서 다뤄보자.

 

군론이 물리학에서 사용되는 이유는 물리적 대상에 대한 어떤 변환(transformation)과 그에 따른 대칭성(symmetry)와 그 외에 기본적인 특성을 이해하는데 큰 도움이 되기 때문이다.

 

 

군(group)에 대한 가장 원시적인 아이디어는 변환군(transformation group)이었다. 변환군을 이해하기에 앞서 먼저 필요한 내용은 사상(mapping)이다.

 

사상이란 어떤 집합 $X$와 $Y$ 사이의 대응 관계(correspondece relation)를 나타내는 과정의 총칭을 의미하며 집합 $X$에서 집합 $Y$로의 사상 $f$는 다음과 같이 표현한다.

$$f : X \rightarrow Y \tag{1}$$

 

이는 집합 $X$ 안의 원소(element) $x_i$와 집합 $Y$ 안의 원소 $y_i$ 사이의 순서쌍(ordered pair) $(x_i, y_i)$를 만드는 방법을 일반적으로 표현한 방식으로 우리가 흔히 아는 함수(function)의 일반화라고 보면 된다.

 

이 $X$를 정의역(domain) $Y$를 공역(codomain)라고 부르며 $X$의 원소랑 대응 관계가 만들어진 $Y$의 원소들을 모아놓은 집합(set)을 치역(range)라고 부른다.

 

이러한 사상 중에서 일대일 함수(one-to-one function)이라는 조건을 만족하는 사상이 우리가 일반적으로 아는 함수에 해당한다.

 

 

다시 변환군의 얘기로 돌아가서 변환군이란 이런 사상들 중에서 거꾸로 가는, 위의 예시에선 $Y$에서 $X$로 대응시키는 역사상(inverse mapping) $f^{-1}$이 존재하는 가역 사상(invertible mapping)들의 집합을 의미한다.

 

쉽게 말하자면 어떤 $f_i$가 있고 이 사상의 역사상 $f_i^{-1}$이 잘 정의 된다고 하자. 이런 $f_i$들을 모아놓은 집합을 변환군이라고 부른다.

 

대표적으로 회전(rotation)이나 평행 이동(translation)이 이러한 사상으로 표현되는 변환에 해당한다. 실제로 회전의 경우 어떤 물체의 좌표와 이 물체를 회전 시킨 물체의 좌표 사이의 이러한 사상을 정의할 수 있다.

 

원래 돌렸던 방향과 반대 방향으로 돌리면 역사상이 잘 정의됨을 알 수 있다. 이는 평행 이동에 대해서도 비슷하게 좌표를 이동시키는 사상을 생각했다가 반대 방향으로 이동시키는 것을 통해 역사상을 정의할 수 있다.

 

특히 어떤 물체를 사상으로 변환시킨 뒤 역사상을 한 번 더 가하면, 예시를 들면 $x$에 있던 물체를 $x + a$로 이동하는 변환을 가했다가 역사상을 가해 $(x+a) - a$의 계산을 생각해보면 이 물체는 원래대로 $x$에 있다.

 

즉, 어떤 사상을 가하고 다시 한 번 역사상을 가하면 원래 상태로 되돌아 오므로 이들의 합성 사상(composite mapping)은 항등 사상(identity mapping)이 됨을 알 수 있다.

 

 

이러한 특성을 이용해서 군을 다음과 같이 정의할 수 있다.

군 : 어떤 집합 $S$와 결합 법칙(associative law)를 따르는 이항 연산(binary operation) $S \times S \rightarrow S$을 묶은 대상을 말한다. 이때 이항 연산을 $*$이라 표현하면 이 이항 연산은 다음과 같은 성질을 만족해야 군이 정의된다.
1. 항등원(identity) $e$의 존재성 : $\text{for} \; s \in S, \; \exists e \in S \; \text{so that} \; s * e = e * s = s$
2. 역원(inverse)의 존재성 : $\forall s \in S, \; \exists s^{-1} \; \text{so that} \; s*s^{-1} = s^{-1} *s = e$

 

이때 이항 연산이란 집합 $S$ 안의 임의의 두 원소 $s_1$과 $s_2$를 꺼내서 어떤 연산을 가해 $s_3 = s_1 *s_2$를 만들었을 경우 $s_3 \in S$가 항상 만족하는 연산을 의미한다.

 

추가적으로 결합 법칙을 따르는 연산이란 $S$ 내부의 임의의 원소 $s_1, s_2, s_3 \in S$에 대해 다음 성질을 만족하는 경우를 의미한다.

$$(s_1 * s_2)*s_3 = s_1*(s_2 * s_3) \tag{2}$$

 

이때 집합 $S$와 이항 연산 $*$으로 만들어지는 군을 $(S, *)$으로 표현한다.