고유값 문제와 풀이 : 특성 방정식과 축퇴

 

이번 글에는 물리학에서 아주 중요하게 사용되는 방정식의 한 형태인 고유값 방정식(eigenvalue equation)를 다룬다. 여기서 고유를 의미하는 eigen은 독일어에서 나왔다.

 

고유값 문제는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 어떤 임의의 선형 연산자(linear operator) $\hat{O}$에 대해 다음과 같은 문제를 의미한다.

$$\hat{O} \psi = \lambda \psi \tag{1}$$

여기서 $\psi$는 어떤 함수를 $\lambda$는 임의의 상수를 의미한다.

 

식 (1)을 해석해보면 연산자 $\hat{O}$에 대해 변하지 않는 함수 $\psi$가 존재한다는 뜻이다. 다만 그 함수의 스케일은 $\lambda$만큼 변하긴 하지만 어쨋든 함수 $\psi$는 유지된다.

 

식 (1)과 같이 어떤 연산자에 의해 변하지 않는 함수를 고유 함수(eigenfunction)이라고 부르며 스케일을 조정하는 $\lambda$를 고유값(eigenvalue)라고 부른다. 또한 이들을 찾는 문제를 고유값 문제(eigenvalue problem)이라고 부른다.

 

 

이 문제가 중요한 이유는 물리학의 여러 분야에서 이 문제 형태가 등장하기 때문이다. 특히 양자역학(quantum mechanics)의 경우 고유값 문제를 푸는 물리학이라고 불러도 무방하다.

 

특히 힐베르트 공간에서 선형 연산자들은 행렬(matrix)의 형태로 표현된다. 즉, 양자역학에서 물리량을 나타내는 연산자들은 행렬 형태로 쓰이며 이 행렬의 고유 함수(eigenfunction) 혹은 벡터 형태를 띠고 있기 때문에 고유 벡터(eigenvector)라고 부르는 벡터 함수들이 물리 상태를 기술하는 파동 함수(wave function)라고 해석한다.

 

양자역학 이외에도 강체(rigid body)의 회전을 다루는 문제에서 주축(principal axis)를 찾을 때에도 지금과 같은 고유값 문제 형태의 방정식을 풀게 되며 이외에도 전자기파(electromagnetic wave) 등을 다룰때 등장하기도 한다.

 

 

힐베르트 공간의 연산자들은 행렬로 표현된다. 행렬은 어떤 벡터를 변환(transformation)하는 연산에 해당되기 때문에 고유 함수들은 벡터의 형태를 가지는 고유 벡터가 된다.

 

식 (1)을 보면 벡터가 변하지 않았으므로 벡터의 차원은 그대로 유지가 된다. 이는 고유값 문제에서 생각하는 행렬은 $n \times n$ 정사각 행렬(square matrix)이며 이 행렬에 대응되는 벡터는 $n$차원 벡터($n$-dimensional vector)가 됨을 알 수 있다.

 

일단 먼저 가장 간단한 예시를 보기 위해서 $n=1$인 경우의 문제를 한 번 보도록하자. 가장 유명한 연산자 중 하나로 양자역학의 운동량 연산자(momentum operator)를 생각해보자. 먼저 운동량 연산자는 다음과 같다.

$$\hat{p} = -i \hbar \frac{d}{dx} \tag{2}$$

 

운동량 연산자의 고유 함수를 $psi(x)$라 하고 이에 대응되는 고유값을 $p$라고 해보자. 그렇다면 고유값 문제는 다음과 같이 쓰여진다.

$$-i \hbar \frac{d \psi(x)}{dx} = p \psi (x) \tag{3}$$

 

식 (3)의 미분 방정식(differential equation)을 풀기 위해서 다음과 같이 식을 변형시켜보자.

$$\frac{1}{\psi (x)} d \psi (x) = \frac{i}{\hbar} p dx \tag{4}$$

 

식 (4)의 양 변을 적분한뒤 식을 정리하면 $\psi(x)$는 평면파(plane wave)의 형태가 됨을 알 수 있다. 즉, 운동량 연산자의 고유 함수는 파동의 형태로 쓸 수 있다.

$$\ln \psi (x) = \frac{i}{\hbar} p x \quad \Rightarrow \quad \psi (x) = e^{\frac{i}{\hbar} p x} \tag{5}$$

 

 

이번엔 $2 \times 2$ 형태의 행렬을 한 번 고려해보자. 다음과 같은 가장 일반적인 형태의 $2 \times 2$ 행렬의 고유값과 고유 벡터를 구해보자. $M$의 고유 벡터를 $\vec{\psi}$라하고 가장 일반적인 형태의 벡터로 쓴 다음 문제를 풀어보자.

$$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \tag{6}$$

$$\vec{\psi} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \tag{7}$$

 

이 문제의 고유값 문제를 쓰면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \tag{8}$$

이때 $\lambda \vec{\psi} = \lambda I \vec{\psi}$로 단위 행렬(unit matrix)를 이용해서 표현한다.

 

식 (8)을 이항(transposition)해서 식을 변형하면 다음과 같은 문제로 바뀜을 알 수 있다.

$$\begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \tag{9}$$

 

식 (9)의 좌변의 행렬을 한 번 보도록 하자. 만약 이 행렬이 영행렬(zero matrix)라면 $x$, $y$값에 관계없이 등식은 성립하지만 이는 $a = d = \lambda$이고 $b = c =0$인 경우이므로 $M$이 단위 행렬에 $a$를 곱한 행렬이란 뜻이므로 별다른 가치를 지니지 못하는 문제가 된다.

 

만약 식 (9)의 좌변 행렬의 역행렬(inverse matrix)이 존재하는 가역 행렬(invertible matrix)이라면 양변에 역행렬을 곱해 식 (9)를 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다.

$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \tag{10}$$

 

이는 $x = y =0$이란 의미이며 고유값이나 행렬에 관계없이 고유 벡터가 성분이 모두 $0$인 벡터로 고정되어버린다. 따라서 이 또한 별다른 의미가 없는 경우에 해당한다.

 

그렇다면 고유값 문제가 가치를 지니는 경우는 행렬 $M$이 역행렬을 가지지 못하는  비가역 행렬(singular matrix)일 경우이다. 어떤 행렬이 비가역 행렬이기 위한 조건은 행렬의 행렬식(determinant)이 $0$이어야 한다.

$$\det M = \begin{bmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{bmatrix} = 0\tag{11}$$

 

따라서 식 (11)을 풀면 고유값을 구할 수 있다. 그래서 식 (11)을 특성 방정식(characteristic equation) 또는 영년 방정식(secular equation)이라고 부른다.

 

 

식 (11)을 곧장 풀어서 찾을 수 있지만 그보다는 좀 더 와닿을 수 있는 예시를 보기 위해 행렬 성분에 직접 어떤 숫자를 넣고 특성 방정식을 풀어서 고유값을 찾아보자.

$$B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \tag{12}$$

 

식 (12)의 행렬 $B$의 특성 방정식은 다음과 같다.

$$\begin{bmatrix} 5 - \lambda & -2 \\ -2 & 2 - \lambda \end{bmatrix} = (5 - \lambda) (2 - \lambda) - 4 = \lambda^2 - 7 \lambda + 6 = 0 \tag{13}$$

 

따라서 행렬의 고유값은 $\lambda_1 = 1$과 $\lambda_2 = 6$ 두 가지 경우가 존재한다. 이제 다시 원래의 고유값 문제로 돌아가서 고유 벡터를 찾아보자. 먼저 $\lambda_1 = 1$의 경우 고유값 문제는 다음과 같다.

$$\begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \tag{14}$$

 

이때 식 (14)는 다음과 같은 2개의 연립 방정식(simultaneous) 문제로 풀어쓸 수 있다.

$$\begin{cases} 5x - 2y = x \\ -2x + 2y =  y \end{cases} \tag{15}$$

 

이 조건은 $y = 2 x$라는 조건을 주고 원래 연립 방정식의 고유 벡터에 이를 반영시켜 쓸 수 있다. 만약 $B$의 고유 벡터를 $\vec{b}$라고 하면 고유 벡터는 다음과 같다.

$$\vec{b} = \begin{pmatrix} x \\ 2x \end{pmatrix} \tag{16}$$

 

$x$의 값은 문제의 상황에 따라 달라진다. 특히 고유 벡터의 크기가 정해져 있는 경우가 많은데 대표적으로 양자역학 문제의 경우 보른 확률 해석(Born probability interpretation)에 맞추기 위해선 크기가 $1$이어야 한다. 만약 이 조건을 사용해서 식 (16)의 $x$를 구하면 다음과 같다.

$$|\vec{b}|^2 = 5x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \tag{17}$$

이를 식 (16)에 대입하면 $\pm$은 벡터의 방향을 의미함을 알 수 있다. 즉, 어떤 고유 벡터는 그 방향을 뒤집어도 여전히 고유 벡터가 됨을 알 수 있다.

 

또한 나머지 고유값 $\lambda_2 = 6$의 경우 고유 벡터 성분 사이의 조건은 $y = -\frac{1}{2}x$가 되고 마찬가지로 이를 대입하고 주어진 벡터 크기 조건에 맞춰서 $x$를 찾으면 된다.

 

 

$2 \times 2$ 행렬의 고유값 문제를 응용해서 $n \times n$ 행렬의 고유값 문제 또한 똑같이 생각해볼수 있다. 사실 모든 과정은 정확하게 똑같다.

 

먼저 $n \times n$ 행렬의 고유값 문제를 쓰고 이항을 한 뒤 다음과 같은 특성 방정식 찾아서 풀면 된다.

$$\det \left( M - \lambda I \right) = 0 \tag{18}$$

 

$2 \times 2$ 문제를 되새겨보면 알 수 있겠지만 식 (18)의 특성 방정식은 $n$차 다항식(polynomial) 문제가 됨을 알 수 있다. 따라서 $n \times n$ 행렬의 경우 $n$개의 고유값을 가지며 각각의 고유값에 대응되는 고유 벡터가 존재한다.

 

그러나 $2 \times 2$ 행렬의 경우도 그렇고 다항식에 중근(multiple root)를 가지는 경우가 존재할 수 있다. 다시 말해 중복되는 고유값이 2개 이상인 경우가 있는데 이를 축퇴(degenerate)되어 있다고 말한다.

 

축퇴되어 있는 경우에도 고유 벡터의 숫자는 그대로 $n$개인데 이는 같은 고유값을 가지는 서로 다른 고유 벡터가 존재하기 때문이다. 만약 고유값이 2개 축퇴되어 있다면 같은 고유값을 가지는 2개의 고유 벡터가 있으며 3개 축퇴되면 3개의 고유 벡터가 있는 방식이다.

 

특히 이 축퇴된 상태는 양자역학에서 중요한 역할을 하게 되는데 이는 양자역학 문제들을 다루면서 자세히 확인해보자. 

 

행렬의 기초 - 역행렬

 

행렬식의 성질과 표현 - 라이프니츠 공식, 행렬식 곱셈

 

행렬의 기초 - 단위 행렬과 행렬식