행렬의 기초 - 전치 행렬의 성질과 수직 행렬

 

1. 전치 행렬(transposed matrix)

 

행렬(matrix)의 특성을 알아볼 때 자주 사용되는 연산인 전치(transpose) 연산에 대해 알아보자. 전치는 어떤 행렬의 행과 열을 서로 바꿔버리는 연산이다.

 

간단한 예시를 보기 위해 다음과 같은 $3 \times 3$ 행렬을 생각해보자.

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \tag{1}$$

 

이 행렬의 전치는 다음과 같이 주어지며 전치 연산은 행렬 위에 첨자로 $T$를 많이 적는다. 또한 전치를 취해 만들어진 행렬을 전치 행렬이라고 부른다.

$$A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \tag{2}$$

 

행렬 $A$에서 $a_{12}$ 성분은 원래 행렬의 $a_{21}$ 자리로 $a_{21}$ 성분은 원래 행렬의 $a_{12}$가 있던 자리로 가있음을 알 수 있다. 즉, 서로 자리를 바꾼 것이다.

 

행렬의 성분 $a_{ij}$에 대해 전치 연산은 다음과 같음을 알 수 있다.

$$\left( A^T \right)_{ij} = a_{ji} \tag{3}$$

 

 

전치 행렬의 중요한 특성 중 하나로 전치 행렬의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식과 동일하다. 실제로 아주 간단한 $2 \times 2$ 행렬을 통해 예시를 봐보자.

$$O = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \tag{4}$$

$$\det{O} = ad - bc \tag{5}$$

 

전치 행렬을 구한 다음 전치 행렬의 행렬식을 구하면 다음과 같다.

$$O^{\dagger} = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \tag{6}$$

$$\det{O^{T}} = ad - bc \tag{7}$$

 

좀 더 일반화 시켜서 $n \times n$ 행렬에 대해서 문제를 고려해보자.

$$P = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} & \cdots & p_{2n} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} & \cdots & p_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & p_{n3} & \cdots & p_{nn} \end{pmatrix} \tag{8}$$

$$det{P} = p_{11} \det P_{11} - p_{12} \det P_{12} + p_{13} \det P_{13} - \cdots \tag{9}$$

이때 식 (9)에서 만드는 행렬식은 행렬 $P$의 첫 행을 가지고 만든 행렬식이며 $P_{ij}$는 행렬 $P$의 $ij$ 성분을 가지고 만든 여인수(cofactor) 행렬이다.

 

이번엔 $P$의 전치 행렬과 행렬식을 생각해보면 다음과 같다.

$$P^T = \begin{pmatrix} p_{11} & p_{21} & p_{31} & \cdots & p_{n1} \\ p_{12} & p_{22} & p_{32} & \cdots & p_{n2} \\ p_{13} & p_{23} & p_{33} & \cdots & p_{n3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{1n} & p_{2n} & p_{3n} & \cdots & p_{nn} \end{pmatrix} \tag{10}$$

$$det{P^T} = p_{11} \det P_{11}^T - p_{12} \det P_{12}^T + p_{13} \det  P_{13}^T - \cdots \tag{11}$$

이번에 식 (11)에서 만든 행렬식은 행렬 $P^T$의 첫 열을 가지고 만든 행렬식이며 이때 만들어지는 여인수 행렬들은 앞서 정의한 여인수 행렬과 전치 관계에 있음은 쉽게 알 수 있다.

 

똑같은 방식으로 계속해서 나머지 여인수 행렬에 대한 행렬식을 구해나가면 반복해서 여인수 행렬과 해당 여인수 행렬의 전치 행렬의 행렬식을 구하게 되며 최종적으로 $2 \times 2$ 행렬의 형태까지 오게 된다.

 

그런데 어떤 $2 \times 2$ 행렬과 해당 행렬의 전치 행렬은 행렬식이 같으므로 결국 $2 \times 2$ 행렬의 형태를 가지는 여인수 까지 쪼갠 행렬들의 행렬식은 모두 동일해진다. 따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

$$\det P = \det P^T \tag{12}$$

 

가장 간단하게 이를 계산해보려면 매번 여인수로 쪼갠 뒤 여인수의 행렬식을 구하기 위해 더 작인 여인수로 쪼개는 과정에서 $P$는 첫 행을 가지고 쪼개고 $P^T$는 첫 열을 가지고 쪼갠다면 이를 비교적 쉽게 보일 수 있다.

 

 

또한 전치를 가지고 생각해볼 수 있는 특수한 행렬들이 존재한다. 대표적으로 다음과 같은 행렬을 살펴보자.

$$M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & a & d \\ c & d & e \end{pmatrix} \tag{13}$$

 

이 행렬의 경우 전치를 취할 경우 원래 행렬과 전치 행렬이 서로 같음을 알 수 있다. 이렇게 전치 행렬에 의해 변하지 않는 성질을 가진 행렬을 보고 대칭 행렬(symmetric matrix)이라고 부른다.

$$M^T = M \tag{14}$$

 

이번엔 다음과 같은 행렬을 생각해보자.

$$N = \begin{pmatrix} 0 & b & c \\ -b & 0 & d \\ -c & -d & 0 \end{pmatrix} \tag{15}$$

 

이 행렬의 경우 전치를 취할 경우 원래 행렬에 $-1$을 곱한 행렬과 동일하다. 이러한 행렬을 반대칭 행렬(anti-symmetric matrix or skew symmetric matrix)라고 부른다.

$$N^T = - N \tag{16}$$

반대칭 행렬의 경우 $N_{ii}$의 성분들이 전부 $0$이 되어야 함을 주의하자.

 

 

2. 수직 행렬(orthogonal matrix)

 

이번엔 역행렬(inverse matrix)가 존재하는 $n \times n$행렬 $S$에 대해 다음과 같은 특수한 경우를 생각해보자.

$$S^{-1} = S^T \tag{17}$$

 

그렇다면 $S S^{-1} = I$라는 관계가 성립하게 된다. 이러한 행렬을 수직 행렬(orthogonal matrix)라고 부른다.

 

특히 행렬식 곱셈 정리(determinant product theorem)에 의해 다음과 같은 식이 만족한다.

$$\det{(S S^T)} = \det{S} \det{S^T} = \det{I} = 1 \tag{18}$$

 

그런데 행렬식(determinant)은 전치 변환에 의해 변하지 않으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\det{S S^T} = \det{S} \det{S^T} = \left( \det{S} \right)^2 \tag{19}$$ 

 

식 (13)과 (14)를 종합하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$\det{S} = \pm 1 \tag{20}$$

따라서 행렬식이 $1$ 또는 $-1$이라면 이 행렬은 수직 행렬이라고 부를 수 있다.

 

더욱이 두 수직 행렬 $S_1$과 $S_2$의 곱으로 이루어진 행렬도 수직 행렬인데 다음과 같이 증명이 가능하다.

$$\left( S_1 S_2 \right)^{-1} = S_2^{-1} S_1^{-1} = S_2^T S_1^T = \left( S_1 S_2 \right)^T \tag{21}$$

 

특히 회전 변환을 나타내는 행렬의 경우 수직 행렬의 형태를 가지고 있는데 이는 다음 기회에 보이도록 하자.

 

 

[개정] 행렬의 기초 - 여인수 행렬과 전치 행렬

행렬의 기초 - 단위 행렬과 행렬식