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행렬의 기초 - 전치 행렬의 성질과 수직 행렬수리물리 2024. 5. 7. 02:45반응형
1. 전치 행렬(transposed matrix)
행렬(matrix)의 특성을 알아볼 때 자주 사용되는 연산인 전치(transpose) 연산에 대해 알아보자. 전치는 어떤 행렬의 행과 열을 서로 바꿔버리는 연산이다.
간단한 예시를 보기 위해 다음과 같은
행렬을 생각해보자.3×3 A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33) 이 행렬의 전치는 다음과 같이 주어지며 전치 연산은 행렬 위에 첨자로
를 많이 적는다. 또한 전치를 취해 만들어진 행렬을 전치 행렬이라고 부른다.T AT=(a11a21a31a12a22a32a13a23a33) 행렬
에서A 성분은 원래 행렬의a12 자리로a21 성분은 원래 행렬의a21 가 있던 자리로 가있음을 알 수 있다. 즉, 서로 자리를 바꾼 것이다.a12 행렬의 성분
에 대해 전치 연산은 다음과 같음을 알 수 있다.aij (AT)ij=aji 전치 행렬의 중요한 특성 중 하나로 전치 행렬의 행렬식은 원래 행렬의 행렬식과 동일하다. 실제로 아주 간단한
행렬을 통해 예시를 봐보자.2×2 O=(abcd) det 전치 행렬을 구한 다음 전치 행렬의 행렬식을 구하면 다음과 같다.
좀 더 일반화 시켜서
행렬에 대해서 문제를 고려해보자.이때 식 (9)에서 만드는 행렬식은 행렬
의 첫 행을 가지고 만든 행렬식이며 는 행렬 의 성분을 가지고 만든 여인수(cofactor) 행렬이다.이번엔
의 전치 행렬과 행렬식을 생각해보면 다음과 같다.이번에 식 (11)에서 만든 행렬식은 행렬
의 첫 열을 가지고 만든 행렬식이며 이때 만들어지는 여인수 행렬들은 앞서 정의한 여인수 행렬과 전치 관계에 있음은 쉽게 알 수 있다.똑같은 방식으로 계속해서 나머지 여인수 행렬에 대한 행렬식을 구해나가면 반복해서 여인수 행렬과 해당 여인수 행렬의 전치 행렬의 행렬식을 구하게 되며 최종적으로
행렬의 형태까지 오게 된다.그런데 어떤
행렬과 해당 행렬의 전치 행렬은 행렬식이 같으므로 결국 행렬의 형태를 가지는 여인수 까지 쪼갠 행렬들의 행렬식은 모두 동일해진다. 따라서 다음과 같은 식이 성립한다.가장 간단하게 이를 계산해보려면 매번 여인수로 쪼갠 뒤 여인수의 행렬식을 구하기 위해 더 작인 여인수로 쪼개는 과정에서
는 첫 행을 가지고 쪼개고 는 첫 열을 가지고 쪼갠다면 이를 비교적 쉽게 보일 수 있다.또한 전치를 가지고 생각해볼 수 있는 특수한 행렬들이 존재한다. 대표적으로 다음과 같은 행렬을 살펴보자.
이 행렬의 경우 전치를 취할 경우 원래 행렬과 전치 행렬이 서로 같음을 알 수 있다. 이렇게 전치 행렬에 의해 변하지 않는 성질을 가진 행렬을 보고 대칭 행렬(symmetric matrix)이라고 부른다.
이번엔 다음과 같은 행렬을 생각해보자.
이 행렬의 경우 전치를 취할 경우 원래 행렬에
을 곱한 행렬과 동일하다. 이러한 행렬을 반대칭 행렬(anti-symmetric matrix or skew symmetric matrix)라고 부른다.반대칭 행렬의 경우
의 성분들이 전부 이 되어야 함을 주의하자.2. 수직 행렬(orthogonal matrix)
이번엔 역행렬(inverse matrix)가 존재하는
행렬 에 대해 다음과 같은 특수한 경우를 생각해보자.그렇다면
라는 관계가 성립하게 된다. 이러한 행렬을 수직 행렬(orthogonal matrix)라고 부른다.특히 행렬식 곱셈 정리(determinant product theorem)에 의해 다음과 같은 식이 만족한다.
그런데 행렬식(determinant)은 전치 변환에 의해 변하지 않으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
식 (13)과 (14)를 종합하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
따라서 행렬식이
또는 이라면 이 행렬은 수직 행렬이라고 부를 수 있다.더욱이 두 수직 행렬
과 의 곱으로 이루어진 행렬도 수직 행렬인데 다음과 같이 증명이 가능하다.특히 회전 변환을 나타내는 행렬의 경우 수직 행렬의 형태를 가지고 있는데 이는 다음 기회에 보이도록 하자.
[개정] 행렬의 기초 - 여인수 행렬과 전치 행렬
1. 여인수 행렬(cofactor matrix) 지난번에 행렬식(determinant)를 구하는 과정에서 소행렬(minor)이라는 개념을 정의했었다. 어떤 임의의
행렬에서 한 성분(element)을 선택해 그 성분이 속한 행(boringphys.tistory.com
행렬의 기초 - 단위 행렬과 행렬식
이번엔 행렬(matrix)의 더 부가적인 성질들과 연산을 알아보자. 1. 곱셈에 대한 항등원(identity) 먼저 행렬의 곱셈에 대한 항등원
라 쓰고 이를 구하기 위해 행렬 곱셈의 일반화된 표현을 사용boringphys.tistory.com
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