벡터 미적분학 - 기울기 연산자

 

 

물리학에서 다루는 물리량들은 주로 공간과 시간의 함수(function)으로 주어진다. 특히 전자기학의 경우 장(field)라는 개념을 도입해서 전개할 경우 훨씬 쉽게 풀린다고 알려져있다.

 

이때 우리가 다루는 장들은 수학적 연속성(continuous)을 가지는 대상이라고 가정을 한다. 즉, 장들을 기술하는 함수는 연속 함수(continuous function)라는 뜻이다.

 

만약 장들이 벡터(vector)의 성질을 가진다면 벡터장(vector field)라 부르고 벡터 함수(vector function)의 형태로 쓰인다. 반대로 스칼라(scalar)의 성질을 가진다면 스칼라장(scalar field)라 부르고 스칼라 함수(scalar function)의 형태로 쓰인다.

 

이러한 장을 이용해서 물리학을 기술하려면 반드시 이들의 미분(derivative)와 적분(integration)을 알아야 한다. 그래서 앞으로 어떤 미적분을 사용하는지 알아보려고 한다.

 

 

우선 첫번째로 가장 간단한 형태로 스칼라 함수의 기울기 미분(gradient)를 알아보자. 이 미분법을 응용해서 나머지 다른 미분들을 천천히 유도해 가보도록 하자.

 

스칼라 함수는 스칼라의 성질을 지니는 우리가 가장 많이 보는 일반적인 형태의 다변수 함수(multivariable function)를 의미한다. 특히 물리학에서 사용하는 장은 일반적으로 공간 3차원을 가정한다. 따라서 우리가 지금 다룰 함수는 다음과 같이 3개의 변수로 표현되는 함수로 한정하자.

$$f = f(x, y, z) \tag{1}$$

 

식 (1)의 함수를 전미분(total derivative)하면 전미분의 정의에 의해 다음과 같이 편미분(partial derivative)를 사용해서 표현된다.

$$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz \tag{2}$$

 

식 (2)에서 $x$, $y$, $z$가 서로 완벽하게 독립적인 변수라면 식 (2)는 다음과 같은 두 개의 벡터를 정의해서 표현할 수 있다.

$$\vec{v} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix} \tag{3}$$

$$d \vec{r} = \begin{pmatrix} dx & dy & dz \end{pmatrix} \tag{4}$$

식 (4)는 $\vec{r} = (x, y, z)$의 아주 작은 미소 변화량(infinitesimal increment)를 의미한다.

 

식 (3)과 식 (4)를 이용하면 식 (2)는 두 벡터의 내적(inner product) 형태로 쓸 수 있다.

$$df = \vec{v} \cdot d \vec{r} \tag{5}$$

 

식 (2)에서 정의된 함수를 다음과 같이 표현하기도 한다.

$$\vec{\nabla} f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \end{pmatrix} = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{z} \tag{6}$$

 

 

식 (6)에서 함수 $f$에 작용하는 새로운 형태의 미분 연산자를 기울기 연산자(gradient operator) 혹은 나블라 연산자(nabla operator)라고 부른다. 기울기 연산자는 다음과 같이 정의된다.

$$\vec{\nabla} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} = \frac{\partial}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{z} \tag{7}$$

 

식 (7)에서 쓰인 형태를 응용해서 더 많은 변수에서도 비슷한 연산자를 정의할 수는 있으나 자주 쓰이는 연산자는 아니며 3차원인 경우가 가장 많이 쓰인다.

 

식 (7)의 미분의 형태를 보면 어떤 함수가 $x$ 방향으로 변할 때 그 변화 정도를 벡터의 $x$ 방향 성분으로 삼았으며 나머지 방향 또한 이에 맞게 $y$ 방향, $z$ 방향의 변화율을 각 방향의 성분으로 삼았다.

 

미분은 함수 그래프 상에서 기울기를 의미하기 때문에 식 (7)에서 정의된 연산자는 어떤 함수가 특정 방향으로 변할 때 그 변화율을 주는 연산자가 된다. 그래서 이 연산자를 기울기 연산자라고 부른다.

 

 

또한 식 (6)에서 보면 기울기 연산자를 어떤 스칼라 함수에 가한 경우 그 결과값은 어떤 벡터 함수로 주어짐을 알 수 있다. 즉, 기울기 연산자는 스칼라를 벡터로 바꾸는 역할을 하기도 한다.

 

지금과 같이 스칼라 함수를 벡터 함수로 바꾸는 연산자들을 벡터 미분 연산자(vector differential operator)라고 부르며 기울기 연산자가 가장 대표적으로 사용되는 벡터 미분 연산자에 속한다.

 

이를 반대로 응용하면 어떤 벡터 함수는 임의의 스칼라 함수에 기울기 연산자를 가해 얻어낸 함수라고 생각할 수 있다. 대표적으로 전기장(electric field)는 벡터 함수이므로 이를 만들어내는 스칼라 함수를 생각할 수 있다.

 

이 스칼라 함수를 스칼라 퍼텐셜(scalar potential)이라고 부르며 전자기학에서 다룬바 있다. 이외에도 중력장(gravitational field)를 만들어내는 중력 퍼텐셜(gravitational potential) 등을 사용해서 물리학을 전개하면 편하다고 알려져 있다.

 

기울기 연산자를 사용할 때 벡터 형태의 연산자이므로 이 연산자가 스칼라 함수에 작용해서 벡터를 만들어내고 벡터 함수와 내적될 경우 스칼라를 만들어낸다. 자세한 내용은 다음 글에서 다루지만 이러한 구분을 잘 해주는 것이 장을 이용한 물리학을 이해할 때 큰 도움이 된다.

 

 

미분과 편미분의 간략한 정의