[개정] 행렬의 기초 - 여인수 행렬과 전치 행렬

 

1. 여인수 행렬(cofactor matrix)

 

지난번에 행렬식(determinant)를 구하는 과정에서 소행렬(minor)이라는 개념을 정의했었다. 어떤 임의의 \( n \times n\) 행렬에서 한 성분(element)을 선택해 그 성분이 속한 행(row)과 열(column)을 행렬에서 제거해 만드는 \( (n-1) \times (n-1)\) 행렬을 의미한다.

 

다음과 같은 \( 3 \times 3\) 행렬의 소행렬을 생각해보자.

$$ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} \tag{1}$$

 

\( A_{31} \)에 대한 소행렬을 구해보자. \( A_{31} \)이 속한 모든 행과 열을 지우면 다음과 같은 \( 2 \times 2\) 행렬이 남는다.

$$ M_{31} = \begin{pmatrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{pmatrix} \tag{2}$$

여기서 \( M_{31} \)은 \( A_{31} \)에 대한 소행렬이라는 뜻이다.

 

이런식으로 모든 원소에 대해서 \( 9 \)가지 소행렬을 생각할 수 있다. 그리고 각각의 소행렬들의 행렬식을 구할 수 있고 이를 여인수라고 했었다. 식 (2)에 대응되는 여인수는 다음과 같다.

$$ C_{31} = A_{12} A_{23} - A_{13} A_{22} \tag{3}$$

마찬가지로 \( C_{31} \)은 \( A_{31} \)에 대한 여인수라는 뜻이다.ji

 

마찬가지로 각각의 성분에 대해서 \( 9 \)가지 여인수가 존재하고 이들을 이용해서 다음과 같은 여인수 행렬을 정의할 수 있다.

$$ C = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} \tag{4}$$

 

 

 

2. 전치 행렬(transpose matrix)

 

이번에는 독특한 행렬의 연산을 생각해보자. 바로 대각 성분(diagonal element)에 대해서 대칭으로 원소들의 위치를 바꾸는 변환이다. 이 변환을 전치(transpose)라고 부른다.

 

간단하게 다음과 같은 예시를 보자.

$$ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \tag{5}$$

 

여기서 \( A_{11} \)과 \( A_{22} \)를 대각 성분이라고 부른다. 따라서 행렬 \( A \)의 전치 행렬은 다음과 같다.

$$ A^T = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} \tag{6}$$

 

이를 \( n \times n \) 행렬로 확장했을 때 임의의 성분 \( A_{ij} \)에 대해서 전치 행렬은 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있다.

$$ A_{ij} = A^T_{ji} \tag{7}$$

 

전치 행렬을 취하면 원래 행렬의 \( i \)행 \( j \)열 성분은 전치 행렬의 \( j \)행 \( i \)열 성분으로 변한다. 따라서 \( i \)행 \( i \)열 성분인 대각 성분들은 전치에 대해서 변하지 않는다.

 

 전치 행렬의 개념은 굳이 정사각 행렬(square matrix)가 아니더라도 적용할 수 있다. 다음과 같은 예시를 고려해보자.

$$B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \end{pmatrix} \tag{8}$$

$$B^T = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{21} \\ B_{12} & B_{22} \\ B_{13} & B_{23} \end{pmatrix} \tag{9}$$

 

지금 보면 \( n \times m \) 형태의 행렬은 전치를 취하면 \( m \times n \) 형태의 행렬이 됨을 알 수 있다.

 

 

특히 전치 연산의 경우 행렬을 전치한 이전과 이후가 있다. 대표적으로 다음과 같은 예시를 고려해보자.

$$M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix} \tag{10}$$

 

이 행렬의 경우 $M^T = M$이라는 사실을 전치의 정의에 의해 아주 손쉽게 알 수 있다. 이러한 조건을 만족하는 행렬들을 대칭 행렬(symmetric matrix)이라고 부른다.

 

반대로 전치를 취했을 경우 해당 행렬에 $(-1)$이 추가로 붙는 경우가 존재한다. 다음과 같은 행렬을 예시로 들어보자.

$$N = \begin{pmatrix} a & b & c \\ -b & d & e \\ -c & -e & f \end{pmatrix} \tag{11}$$

 

식 (11)의 경우 $N^T = - N$임을 알 수 있다. 이러한 행렬은 반대칭 행렬(anti-symmetric matrix)로 skew symmetric matrix라고 부르기도 한다.

 

 

행렬의 기초 - 단위 행렬과 행렬식

행렬의 기초 - 여러가지 행렬의 연산과 성질 (1)