양자역학의 공준 - 연산자

양자역학(quantum mechanics)에서 입자의 파동(wave)은 다음과 같은 파동 함수(wave function)으로 표현했다.

$$\psi (\vec{x}, t) = A e^{i \vec{k} \cdot \vec{x} - \omega t} \tag{1}$$

 

이제 우리는 이 파동 함수는 힐베르트 공간(Hilbert space)의 원소가 되는 어떤 한 벡터(vector)가 되며 디랙 표현법(Dirac notation)을 이용해 \( \left| \psi \right> \)로도 표현할 것이다.

 

여기서 우리가 다루는 공간이 유클리드 공간(Euclidean space)가 아니란 점에 유의하자. 어떤 기하학적인 방향으로 대변되는 벡터가 아니며 식 (1)과 같은 함수도 벡터의 정의를 고스란히 만족한다.

 

기저(basis)의 경우에도 기저의 성질을 만족하는 어떤 함수들의 합으로 전개할 수 있으므로 전혀 문제 없이 기존에 사용했던 논리가 적용 가능하다.

$$\psi (\vec{x}, t) = A_1 f_1 (x) + A_2 f_2 (x) + \cdots \tag{2}$$

여기서 \( f_n \)들은 기저의 역할을 할 수 있는 함수들을 의미한다.

 

 

이제 이 벡터는 행렬(matrix)로 표현될 수 있는 어떤 연산자(operator)에 의해 또다른 파동 함수로 변화된다. 여기서 우리가 양자역학을 구성하는데 필요한 첫 번째 공준이 등장한다.

 

어떤 관측 가능한 물리량은 그에 대응되는 연산자가 존재해 연산자와 파동 함수간의 고유값(eigenvalue)가 실제 측정되는 물리량의 값이다.

 

공준을 좀 더 자세히 보자. 먼저 어떤 관측 가능한 물리량의 예시로 에너지(energy), 운동량(momentum), 각운동량(angulatr momentum) 등등 여러가지가 존재한다. 그리고 양자역학에서는 이에 대응되는 에너지 연산자, 운동량 연산자, 각운동량 연산자들이 각각 존재한다.

 

이번엔 고유값을 알아야 하는데 임의의 연산자 \( \hat{O} \)에 대해 다음과 같은 형태의 방정식을 고유값 방정식(eigenvalue equation)이라고 부른다.

$$\hat{O} \left| V \right> = \lambda \left| V \right> \tag{3}$$

 

 

 

식 (3)을 좀 더 자세히 보도록하자. 연산자는 행렬이고 행렬은 벡터를 변화시킨다. 식 (3)에서는 어떤 연산자에 특정 벡터 \( \left| V \right> \)가 작용해서 전체적인 벡터는 변하지 않은 연산을 작용을 의미한다.

 

다만 \( \lambda \)라는 비례 상수만큼의 벡터의 크기 차이가 발생은 하는데 이 \( \lambda \)를 고유값이라고 부른다. 행렬마다 식 (3)을 만족하는, 즉 변화시키지 않는 벡터가 존재하는데 이러한 벡터를 고유 벡터(eigenvector)라고 부른다.

 

양자역학에선 어떤 물리량에 대응되는 연산자가 존재하며 입자의 파동은 연산자의 고유 벡터가 될 수 있는 함수만 가능해진다. 파동 함수는 어떤 임의의 함수가 될 수 있는 자유도를 가진 것이 아니라 고유 벡터의 형태만 가질 수 있다.

 

이러한 고유 벡터는 전부 식 (1)의 지수 함수(exponential function)를 기저로 사용해 전개될 수 있으며 결국 이러한 고유 벡터의 조건은 함수의 계수(coefficient)를 결정하게 된다.

 

이에 대해서는 앞으로 더 많은 예시를 통해서 다뤄보도록 하자. 또한 고유값 문제의 풀이 또한 추후에 다뤄보도록 하고 이번 글에서는 실제 연산자의 사례를 보도록 하자.

 

 

슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)을 유도하는 과정에서 파동 함수에 특정 미분(differentiation)을 가해서 에너지 공식에 맞췄는데 바로 이러한 미분이 측정하고자 하는 물리량에 대응되는 연산자가 된다.

 

가령 식 (1)을 기반으로 운동량을 생산해내기 위해서는 다음과 같은 형태의 미분을 취해주면 된다.

$$ -i \hbar \vec{\nabla} \psi (\vec{x}, t) = \hbar \vec{k} \psi (\vec{x}, t) = \vec{p} \psi (\vec{x}, t) \tag{4}$$

마지막 식은 드 브로이(de Broglie)의 물질파(matter wave) 이론을 이용했다.

 

식 (1)과 같은 형태의 식은 식 (4)에서 사용한 미분 연산자에 대한 고유 벡터가 됨을 알 수 있으며 이때 대응되는 고유값이 운동량이 나옴을 알 수 있다. 따라서 다음과 같이 운동량 연산자를 정의할 수 있다.

$$ \hat{p} = - i \hbar \vec{\nabla} \tag{5}$$

 

비슷한 방법을 이용해 막스 플랑크(Max Planck)의 양자화(quantization) 이론과 응용해서 에너지 연산자를 얻어낼 수 있다.

$$i \hbar \frac{d}{dt} \psi(\vec{x}, t) = \hbar \omega \psi(\vec{x}, t) = E \psi (\vec{x}, t) \tag{6}$$

 

다만 이 경우 에너지 연산자라는 용어를 쓰기 보다는 해밀토니안(Hamiltonian) 연산자라는 용어를 더 많이 사용한다.

$$ \hat{H} = i \hbar \frac{d}{dt} \tag{7}$$

 

 

슈뢰딩거 방정식을 보면 결국 식 (7)에서 정의한 해밀토니안 연산자의 고유값 문제를 풀이하는 방정식임을 알 수 있다.

$$-i \hbar \frac{d}{dt} \psi (\vec{x}, t) = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\vec{x}, t) + V(x) \psi(\vec{x}, t) \tag{8}$$

 

식 (8)에서 좌변이 결국 해밀토니안 연산자에 파동 함수를 적용시킨 결과이며 우변은 에너지 공식과 운동량 연산자를 이용해 파동 함수를 적용시킨 결과임을 알 수 있다.

$$\hat{H} \psi (\vec{x}, t) = \frac{\hat{p}^2}{2m} \psi (\vec{x}, t) + V(x) \psi (\vec{x}, t) = E \psi (\vec{x}, t) \tag{9}$$

 

따라서 해밀토니안은 다음과 같음을 알 수 있다.

$$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}+ V(x) = i \hbar \frac{d}{dt} \tag{10}$$

 

양자역학은 식 (9)를 푸는 것으로 이루어져 있으며 퍼텐셜 에너지 항을 어떻게 주느냐에 따라서 그에 맞는 에너지 고유값과 고유 벡터를 찾는 것이 전부가 된다.

 

 

 

양자역학의 기초 - 행렬과 연산자

 

슈뢰딩거 방정식의 유도

 

벡터, 정확히 알고 있나요? 수학적 정의

 

양자역학의 기초 - 힐베르트 공간과 벡터