양자역학의 기초 - 힐베르트 공간과 벡터

벡터, 정확히 알고 있나요? 벡터의 성질 : https://boringphys.tistory.com/23

벡터, 정확히 알고 있나요? 수학적 정의 : https://boringphys.tistory.com/19

 

이번 글에서는 본격적으로 양자역학(quantum mechanics)를 다루기 이전에 양자역학의 기초 개념에 대해 다뤄보려고 한다.

 

양자역학은 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)과는 다른 수학, 다른 공리(axiom)을 사용한다. 특히 뉴턴 역학에선 유클리드 공간(Euclidean space)를 가정했기 때문에 다루던 벡터(vector)들은 유클리드 벡터(Euclidean vector)였다.

 

하지만 양자역학에서 사용하는 수학 공간은 힐베르트 공간(Hilbert space)이기 때문에 좀 다른 벡터를 사용하게 된다. 특히 양자역학에서 사용하는 벡터들은 디랙(Dirac)이 사용한 표현법을 따라서 \( \left| A \right> \)로 사용한다.

 

 

벡터의 정의에서 나오는 성질들은 당연하게도 힐베르트 공간 벡터에서도 성립하며 벡터 공간을 정의하는 체(field)의 경우 실수 집합(real number set)을 설정할 수도 있고 복소수 집합(complex number set)을 설정할 수도 있다.

 

덧셈에 대한 역원(inverse)과 항등원(identity)은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \left| - A \right> = - \left| A \right> \tag{1}$$

$$ \left| 0 \right> = 0 \tag{2}$$

 

디랙의 표현법을 사용한 표현법을 우리는 켓 벡터(ket vector) 또는 그냥 켓(ket)이라고 부른다. 이런 표기법을 사용하는 이유는 더 이상 유클리드 벡터처럼 크기와 방향으로만 얘기하기가 어려우며 특히 함수(function)를 벡터로 사용할 때 유용하기 때문이다.

 

켓 벡터는 다음과 같이 성분(component)을 가지는 열 벡터(column vector)로 표현할 수 있다.

$$ \left| A \right> = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \tag{3}$$

 

 

우리가 사용할 힐베르트 공간에는 그에 대응되는 또다른 힐베르트 공간이 있다. 이러한 공간을 쌍대 공간(dual space)라고 부르며 사실 내적(inner product)를 정의하기 위해 필요한 벡터 공간이다.

 

켓 벡터로 이루어진 벡터 공간의 쌍대 공간의 원소들을 브라 벡터(bra vector) 또는 그냥 브라(bra)라고 부르며 \( \left< A \right|\)로 표현한다. 이 쌍대 공간까지 합친 표현법을 브라-켓 표현법(bra-ket notation)이라고 부른다.

 

브라 벡터를 성분으로 쓰게 되면 다음과 같은 행 벡터(raw vector)가 되는데 주의할 점은 성분의 요소가 식 (3)과는 조금 다르단 점이다.

$$ \left< A \right| = \begin{pmatrix} a_1^* & a_2^* & \cdots & a_n^* \end{pmatrix} \tag{4}$$

 

\( \left| A \right>\)에 대응되는 \( \left< A \right| \)는 원래 열 벡터를 행 벡터로 바꾸는 과정에서 모든 원소들을 켤레복소수(complex conjugate)로 바꿔준다.

 

 

이제 벡터의 내적을 정의해보자. 켓 벡터 \(\left| A \right>\)와 브라 벡터 \( \left< B \right|\)의 내적은 다음과 같이 표현한다.

$$ \left< B \right| \left. A \right> = \begin{pmatrix} b_1^* & b_2^* & \cdots & b_n^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = b_1^* a_1 + b_2^* a_2 + \cdots + b_n^* a_n = \sum_{i=1}^n b_i^* a_i \tag{5}$$

 

내적을 통해서 벡터의 크기, 즉 노름(norm)을 정의할 수 있다.

$$|A| = \sqrt{\left< A \right| \left. A \right>} \tag{6}$$

 

유클리드 공간에서 직교 좌표계(orthonormal coordinate)를 잡는 것이 편했듯이 힐베르트 공간에서도 서로 직교하는 기저(basis)를 잡고 벡터를 표현하는 편이 편하다.

 

유클리드 공간 벡터간의 직교성을 내적해서 \( 0 \)이 되냐 마냐로 확인했는데 여기서도 마찬가지로 단위 벡터(unit vector)들을 내적해서 판별할 수 있다. 직교성을 판별하는 식은 다음과 같다.

$$\left< i \right| \left. j \right> = \delta_{ij} \tag{7}$$

여기서 \( \delta_{ij} \)는 크로네커 델타(Kronecker delta)를 의미한다.

 

우리는 그람-슈미트 정리(Gram-Schmidt)를 통해 어떤 임의의 벡터는 지금과 같이 찾아낸 직교 기저(orthonormal basis)로 표현할 수 있다. 이제 다음 글에서 그 방법을 다뤄볼 예정이다.

 

 

 

벡터, 정확히 알고 있나요? 수학적 정의

벡터, 정확히 알고 있나요? 벡터의 성질