슈뢰딩거 방정식의 유도

드 브로이의 물질파 이론 : https://boringphys.tistory.com/4

드 브로이의 물질파 이론 이야기

 

지난 드 브로이의 물질파 이론 글에서 마지막에 물질파 입자의 운동 에너지 공식을 다음과 같이 구했었다.

$$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \tag{1}$$

 

여기에 추가로 구했던 플랑크(Planck)의 파동 에너지 공식 \( E = \hbar \omega \)를 응용해서 식을 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

$$ \hbar \omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \tag{2}$$

 

 

물질파 이론에서 질량을 가진 입자를 파동으로 가정했었고 파동은 삼각함수로 표현이 가능하다. 또한 삼각함수들은 오일러 공식(Euler formula)을 이용해 복소 지수 함수 형태로 쓸 수 있다. 특히 단일 삼각함수로 표현되는 복소 지수 함수를 평면파(plane wave)라고 한다.

 

양자역학에서 입자 파동은 파동 함수(wave equation) \( \psi \)로 기술된다. 파동 함수 한 입자 파동을 대표하는 함수이므로 다음과 같은 3차원 평면파 형태로 쓰면 다음과 같다.

$$\psi(\vec{x}, t) = A e^{i (\vec{k} \cdot \vec{x} - \omega t)} \tag{3}$$

 

여기서 \( A \)는 입자 파동의 진폭(amplitude)을 의미한다.

 

이 평면파 공식을 물질파 이론으로 연결짓기 위해서 다음과 같이 약간 변형을 가한다.

$$ \psi(\vec{x}, t) = A e^{i \frac{1}{\hbar} ( \hbar \vec{k} \cdot \vec{x} - \hbar \omega t)} = A e^{i \frac{1}{\hbar} (\vec{p} \cdot \vec{x} - E t) } \tag{4}$$

 

 

여기에 라플라시안(Laplacian) \( \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \)을 가해보면 다음과 같은 결과가 나온다.

$$\nabla^2 \psi(\vec{x}, t) = A \left(i \frac{\vec{p}}{\hbar} \right)^2 e^{i \frac{1}{\hbar} (\vec{p} \cdot \vec{x} - E t)} = \left( -\frac{p^2}{\hbar^2} \right) \psi(\vec{x}, t) \tag{5}$$

 

따라서 최종적으로 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

$$-\hbar^2 \nabla^2 \psi(\vec{x}, t) = p^2 \psi(\vec{x}, t) = \hbar^2 k^2 \psi(\vec{x}, t) \tag{6}$$

 

 

이번에는 시간 미분 \( \frac{\partial}{\partial t} \)를 가해보자.

$$\frac{\partial }{\partial t} \psi(\vec{x}, t) = A \left( -\frac{i}{\hbar} E \right) e^{i \frac{1}{\hbar} (\vec{p} \cdot \vec{x} - E t)} t= -i \frac{E}{\hbar} \psi(\vec{x}, t) \tag{7}$$

 

마찬가지로 다음과 같은 관계식을 얻는다.

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{x},t) = E \psi(\vec{x}, t) \tag{8}$$

 

 

이제 식 (2)의 양 변에 파동 함수를 곱해보자.

$$\hbar \omega \psi (\vec{x}, t) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \psi (\vec{x}, t) \tag{9}$$

 

여기에 식 (6)과 식 (8)을 응용하면

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{x}, t) = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\vec{x}, t) \tag{10}$$

 

이 식 (10)을 자유 입자(free particle)의 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)이라고 부른다.

 

자유 입자인 이유는 우리가 생각한 입자의 에너지를 운동 에너지(kinetic energy)만 고려했었기 때문이다. 따라서 퍼텐셜 에너지(potential energy)까지 고려해서 식 (2)를 다시 쓰면 다음과 같다.

$$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + V(x) \tag{10}$$

 

이때 퍼텐셜 에너지는 거리에만 의존하는 형태로 바꾸어 썻다. 다시 말해서 방향에는 의존하지 않는다. 많은 경우 이러한 퍼텐셜을 잡기 때문에 유용하다.

 

 

어차피 식 (10) 양변에 파동 함수를 곱하는 과정에서 결국 우리가 유도할 수 있는 항은 운동 에너지와 역학적 에너지 항 밖에 없으므로 큰 변화 없이 식 (10)에 퍼텐셜 에너지 항이 추가해진 형태로 쓰인다.

$$i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{x}, t) = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi (\vec{x}, t) + V(x) \psi(\vec{x}, t) \tag{11}$$

 

이 형태가 최종적으로 퍼텐셜 에너지까지 고려한 슈뢰딩거 방정식이다.

 

에르빈 슈뢰딩거

슈뢰딩거는 1926년 물질파 이론을 통해 이 공식을 유도했고 퍼텐셜 에너지 항에 수소 원자의 퍼텐셜 에너지를 집어넣어 그 결과가 보어(Bohr)의 모형과 일치함을 보였다.

 

슈뢰딩거는 이 업적을 통해 양자역학의 개발자로서 1933년 노벨 물리학상을 수상했다.

 

 

많은 경우 양자역학은 슈뢰딩거 방정식을 통해 이루어지지만 한편으로 슈뢰딩거 방정식은 몇가지 한계를 안고 있다. 대표적으로 \( E = \frac{p^2}{2m} + V(x) \)라는 비상대론적 방정식에서 왔기 때문에 상대론적 효과를 다루지 못한다. 이에 대해서는 차차 다뤄볼 생각이다.

 

또 도대체 파동 함수의 정체가 무엇인가에 대해서도 논란이 많았다. 실제로 이와 관련한 아인슈타인과 보어의 논쟁이 유명하다. 결국 코펜하겐 학파의 해석을 받아들일 수 없었던 슈뢰딩거는 양자역학의 아버지였음에도 불구하고 자신이 이 따위 일(슈뢰딩거의 표현을 빌려서)에 기여했다는 사실을 수치스럽게 여기고 물리학계를 떠났다.