양자역학의 기초 - 항등 연산자와 사영 연산자

 

지난번에 힐베르트 공간(Hilbert space)의 벡터(vector)들에 대해서 이 벡터들이 선형 연산자(linear operator)에 의해 어떻게 변하는지 그리고 그러한 변화를 행렬(matrix)에 의해서 표현할 수 있음을 봤었다.

 

본격적으로 이러한 변환 행렬(transformation matrix)를 보기 이전에 수학적으로 유용한 결과를 줄 수 있는 행렬들에 대해 다뤄보려고 한다.

 

 

먼저 항등 연산자(identity operator)에 대해서 생각해보자. 항등 연산자는 어떤 벡터에 이 연산을 가했을 때 벡터가 변하지 말아야하는 연산자를 의미한다. 먼저 다음과 같은\( n \)차원 켓 벡터(ket-vector)를 생각해보자.

$$ \left| A \right> = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \tag{1}$$

 

이제 어떤 항등 연산자 \( I \)가 있어 다음과 같은 성질을 만족한다고 생각해보자.

$$ I \left| A \right> = \left| A \right> \tag{2}$$

 

이 행렬의 성분을 찾아줘야 하는데 그 전에 먼저 식 (1)에서 정의한 켓 벡터가 직교 기저(orthogonal basis)로 써져 있다고 가정하자. 그렇지 않은 경우에 대해서도 구할 수 있지만 문제가 상당히 복잡해진다.

 

만약 주어진 벡터가 실제로 직교 기저로 이루어져있지 않다고 하더라도 우리는 언제든지 기존 기저를 그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt proceudure)를 통해서 직교 기저로 다시 표현할 수 있다.

 

 

직교 기저를 \( \left| i \right> \)로 표현하면 식 (1)은 다음과 같이 전개가 가능하다.

$$\left| A \right> = a_1 \left| 1 \right> + a_2 \left| 2 \right> + \cdots + a_n \left| n \right> = \sum_{i=1}^n a_i \left| i \right>  \tag{3}$$

 

이제 항등 연산자 \( I \)의 \( i \) 행 \( j \) 열 성분을 행렬 성분 표현법을 통해 바꿔보자.

$$ I_{ij} = \left< i \right| I \left| j \right> \tag{4}$$

 

항등 연산자는 식 (2)에서와 같이 벡터를 전혀 변화시키지 않는다. 따라서 기저들도 항등 연산자에 의해서 변하지 않는다. 따라서 다음과 같은 식이 만족한다.

$$ I_{ij} = \left< i \right| \left. j \right> = \delta_{ij} \tag{5}$$

 

마지막 식은 직교 기저의 성질을 이용해서 크로네커 델타(Kronecker delta)를 이용해서 표현했다. 결과적으로 식 (5)를 보면 항등 연산자는 \( n \times n \) 항등 행렬(identity matrix)임을 알 수 있다.

 

 

이번엔 식 (3)의 전개를 분석해보자. 먼저 브라 벡터(bra-vector) 기저 \( \left< j \right| \)를 내적해보자.

$$ \left< j \right| \left. A \right> = \sum_{i=1}^n a_i \left< j \right| \left. i \right> = \sum_{i=1}^n a_i \delta_{ij} = a_j \tag{6}$$

 

이런 방식으로 기저를 내적해서 특정 벡터 성분을 뽑아낼 수 있다. 이 뽑아낸 성분에 원래 방향 벡터 기저를 가해서 벡터에서 특정 방향만 뽑는 연산을 생각해 볼 수 있다.

$$ \left( \left| j \right> \left< j \right| \right) \left| A \right> = \left| j \right> \left< j \right| \left. A \right> = a_j \left| j \right> \tag{7}$$

 

식 (7)에서와 같이 전체 벡터에서 특정 방향의 벡터만 추출해내는 연산을 사영 연산(projection operation)이라 하고 따라서 \( j \) 방향 사영 연산자(projection operator)는 다음과 같이 주어진다.

$$ \mathcal{P}_j = \left| j \right> \left< j \right| \tag{8}$$

 

 

이번엔 \( \left| 1 \right> \) 방향 벡터부터 \( \left| n \right> \) 방향 벡터까지 차례대로 뽑아낸 다음 다 한꺼번에 더해보도록 하자. 사실 눈치가 빠르면 알겠지만 이는 항등 연산자하고 동등해진다.

$$ \mathcal{P}_1 \left| A \right> = a_1 \left| 1 \right> \tag{9}$$

$$ \mathcal{P}_2 \left| A \right> = a_2 \left| 2 \right> \tag{10}$$

$$\vdots$$

$$\mathcal{P}_n \left| A \right> = a_n \left| n \right> \tag{11}$$

 

식들의 좌변을 정리해서 다음과 같이 써보자.

$$ \mathcal{P}_1 \left| A \right> + \mathcal{P}_2 \left| A \right> + \cdots + \mathcal{P}_n \left| A \right> = \left( \mathcal{P}_1 + \mathcal{P}_2 + \cdots + \mathcal{P}_n \right) \left| A \right> = \sum_{i = 1}^n \mathcal{P}_i \left| A \right> \tag{12}$$

 

이번엔 우변을 정리해서 다음과 같이 쓰자.

$$ a_1 \left| 1 \right> + a_2 \left| 2 \right> + \cdots + a_n \left| n \right> = \sum_{i=1}^n a_i \left| i \right> = \left| A \right> \tag{13}$$

 

따라서 다음과 같은 관계가 만족한다.

$$\sum_{i=1}^n \mathcal{P}_i \left| A \right> = \left| A \right> \tag{14}$$

 

 

식 (14)의 결과가 항등 연산자와 동등하다는 것을 알 수 있다. 식 (8)의 내용을 쓰면 다음과 같은 식이 성립한다. 이 결과를 완전성 관계(completeness relation)이라고 부른다.

$$ I = \sum_{i=1}^n \mathcal{P}_i = \sum_{i=1}^n \left| i \right> \left< i \right| \tag{15}$$

 

식 (15)의 결과는 얼핏 보기엔 딱히 새로운 것이 없어보인다. 그저 사영 연산자에 정의에 의한 결과이고 사실 그게 맞다.

 

하지만 실제 연산자가 여러개 들어오는 양자역학 문제에서는 식 (15)와 같은 항등 연산자를 식 중간중간에 넣어서 전개하는 편이 훨씬 쉬운 경우가 많다.

 

당장 생각해보기에도 행렬의 곱셈을 직접 하는 것 보다는 각 행렬의 성분을 뽑아내 식을 만드는 것이 계산이 좀 더 편리하다. 후자의 경우는 결국 많은 숫자들의 곱셈이 되기 때문이다.