함수 급수의 균등 수렴 판정

지난 글에서 함수 급수(series of function)의 균등 수렴(uniformly convergence)에 대해서 다뤘었다. 이번엔 주어진 어떤 함수 급수가 특정 정의역(domain)에서 균등 수렴 하는가 안 하는가를 판정하는 방법으 다뤄보자.

 

 

1. 바이어슈트라스 M-판정법 (Weierstrass M-test)

 

바이어슈트라스 M 판정법은 어떤 정의역 $A$에서 정의된 함수 수열(sequence of function) $f_n(x)$에 대해서 양수로만 이루어진 어떤 수열(sequence) $M_n$이 있어서 다음 조건을 만족할 경우 $f_n(x)$가 균등 수렴한다는 판정법이다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n\text{is covergence}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\forall }x\in A\text{and}n\ge 1|f_n(x)|\le M_n\end{array}$$

 

함수 수열의 부분합(partial sum)을 다음과 같이 쓰자.
$$\begin{array}{}\text{(3)}& S_n(x)=\sum _{n=1}^m{f}_n(x)\end{array}$$

식 (1)의 조건에서 $M_n$의 급수(series)가 수렴하기 때문에 해당 수열은 $0$으로 수렴하고 충분히 큰 $n$에 대해서 부분합이 임의의 양수 $\epsilon$보다 항상 작을 수 있다.
$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathrm{\exists }k\text{so that}\sum _{n=k+1}^m{M}_n<\epsilon \end{array}$$

삼각 부등식(triangle inequality)과 식 (3)을 이용하면 다음과 같은 부등식을 쓸 수 있다.
$$\begin{array}{}\text{(5)}& |S_m(x)-S_k(x)|=|\sum _{n=k+1}^m{f}_n(x)|\le \sum _{n=k+1}^n|f_n(x)|\le \sum _{n=k+1}^m{M}_n<\epsilon \end{array}$$

$k\to \mathrm{\infty }$인 극한을 취하게 되면 식 (5)를 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다.
$$\begin{array}{}\text{(6)}& \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}|S_m(x)-S_k(x)|=|S_m(x)-S(x)|<\epsilon \end{array}$$

따라사 균등 수렴의 정의를 잘 만족하므로 식 (2)의 조건을 만족하면 함수 급수가 균등 수렴함을 알 수 있다.

 

 

2. 아벨 판정법(Abel test)

 

아벨 판정법은 급수에 사용되는 판정법을 함수 급수에까지 확장시켜 사용할 수 있는 판정법이다.

 

아벨 판정법은 $a_n$, $b_n$ 두 수열을 가정해서 $a_n$의 급수가 수렴이고 $b_n$은 단조 수열(monotone sequence)이며 한계를 가지고 있는 유계(bounded)일 경우에 성립한다.

 

두 조건을 만족하면 다음과 같은 급수가 수렴한다.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n\end{array}$$

 

이를 함수 급수에 대해서 적용시키면 균등 수렴하는 $f_n(x)$와 $g_n(x)<g_{n+1}(x)$이며 $|g_n(x)|<M$인 두 함수에 대해서 ($M$은 임의의 양의 상수) 다음 급수도 균등 수렴이다.

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)g_n(x)\end{array}$$

 

$A_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$라 하면 $a_n=A_n-A_{n-1}$이다.

따라서 식 (7)은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{ccc}\sum _{n=1}^m{b}_n(A_n-A_{n-1})& =& b_1{A}_1+b_2(A_2-A_1)+b_3(A_3-A_2)+\cdots +b_m(A_m-A_{m-1})\\ & =& A_1(b_1-b_2)+A_2(b_2-b_3)+\cdots +A_{m-1}(b_{m-1}-b_m)+A_m{b}_m\\ \sum _{n=1}^{m-1}{A}_n(b_n-b_{n+1})+A_m{b}_m\end{array}\end{array}$$

$A_n$은 기본 가정에 의해 수렴하는 수열이고 $b_n$도 유계인 단조 함수이기 때문에 $b_n-b_{n+1}$은 발산할 수 없다. 그렇다면 유계가 될 수 없다.

따라서 식 (8)의 최종식은 수렴함을 알 수 있다.

같인 방식으로 함수 급수에서도 적용 가능하다.

 

 

함수 급수와 균등 수렴