함수 급수의 균등 수렴 판정

지난 글에서 함수 급수(series of function)의 균등 수렴(uniformly convergence)에 대해서 다뤘었다. 이번엔 주어진 어떤 함수 급수가 특정 정의역(domain)에서 균등 수렴 하는가 안 하는가를 판정하는 방법으 다뤄보자.

 

 

1. 바이어슈트라스 M-판정법 (Weierstrass M-test)

 

바이어슈트라스 M 판정법은 어떤 정의역 \( A \)에서 정의된 함수 수열(sequence of function) \( f_n (x) \)에 대해서 양수로만 이루어진 어떤 수열(sequence) \( M_n \)이 있어서 다음 조건을 만족할 경우 \( f_n (x)\)가 균등 수렴한다는 판정법이다.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} M_n \quad \text{is covergence} \tag{1}$$

$$ \forall x \in A \; \text{and} \; n \geq 1 \quad |f_n (x)| \leq M_n \tag{2}$$

 

함수 수열의 부분합(partial sum)을 다음과 같이 쓰자.
$$S_n (x) = \sum_{n = 1}^m f_n (x) \tag{3}$$

식 (1)의 조건에서 \( M_n \)의 급수(series)가 수렴하기 때문에 해당 수열은 \( 0 \)으로 수렴하고 충분히 큰 \( n \)에 대해서 부분합이 임의의 양수 \( \varepsilon \)보다 항상 작을 수 있다.
$$ \exists k \; \text{so that} \; \sum_{n = k +1}^m M_n < \varepsilon \tag{4}$$

삼각 부등식(triangle inequality)과 식 (3)을 이용하면 다음과 같은 부등식을 쓸 수 있다.
$$ | S_m (x) - S_k (x) | = \left| \sum_{n=k+1}^m f_n (x) \right| \leq \sum_{n = k+1}^n | f_n (x) | \leq \sum_{n = k+1}^m M_n < \varepsilon \tag{5}$$

\( k \rightarrow \infty\)인 극한을 취하게 되면 식 (5)를 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다.
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} | S_m(x) - S_k (x)| = |S_m (x) - S(x)| < \varepsilon \tag{6}$$

따라사 균등 수렴의 정의를 잘 만족하므로 식 (2)의 조건을 만족하면 함수 급수가 균등 수렴함을 알 수 있다.

 

 

2. 아벨 판정법(Abel test)

 

아벨 판정법은 급수에 사용되는 판정법을 함수 급수에까지 확장시켜 사용할 수 있는 판정법이다.

 

아벨 판정법은 \( a_n \), \(b_n\) 두 수열을 가정해서 \( a_n \)의 급수가 수렴이고 \( b_n \)은 단조 수열(monotone sequence)이며 한계를 가지고 있는 유계(bounded)일 경우에 성립한다.

 

두 조건을 만족하면 다음과 같은 급수가 수렴한다.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \tag{7}$$

 

이를 함수 급수에 대해서 적용시키면 균등 수렴하는 \(f_n (x)\)와 \(g_n (x) < g_{n+1} (x)\)이며 \(|g_n (x)| < M \)인 두 함수에 대해서 (\( M \)은 임의의 양의 상수) 다음 급수도 균등 수렴이다.

$$\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) g_n (x) \tag{8}$$

 

\( A_n = \sum_{k=1}^n a_k \)라 하면 \(a_n = A_n - A_{n-1}\)이다.

따라서 식 (7)은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\begin{matrix} \sum_{n=1}^{m} b_n (A_n - A_{n-1}) & = & b_1 A_1 + b_2 (A_2 - A_1) + b_3 (A_3 - A_2) + \cdots +  b_m (A_m - A_{m-1}) \\ & = & A_1 (b_1 - b_2) + A_2 (b_2 - b_3) + \cdots + A_{m-1} (b_{m-1} - b_m) + A_m b_m \\ \sum_{n=1}^{m-1} A_n (b_n - b_{n+1}) + A_m b_m \end{matrix} \tag{8}$$

\( A_n \)은 기본 가정에 의해 수렴하는 수열이고 \(b_n\)도 유계인 단조 함수이기 때문에 \( b_n - b_{n+1}\)은 발산할 수 없다. 그렇다면 유계가 될 수 없다.

따라서 식 (8)의 최종식은 수렴함을 알 수 있다.

같인 방식으로 함수 급수에서도 적용 가능하다.

 

 

함수 급수와 균등 수렴