행렬식의 성질과 표현 - 부가적인 성질

이번 글에서는 좀 더 부가적인 행렬식(determinant)의 성질에 대해서 정리해보도록 하겠다.

 

 

1. 행렬식의 스칼라 곱셈

 

다음과 같이 \( n \times n \) 행렬(matrix) \( A \)의 행렬식을 생각해보자. 그리고 이 행렬식에 어떤 상수(constant) \( c \)를 곱해보자.

$$ \det A = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{1}$$

$$ c \det A = c \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{2} $$

 

지금과 같은 형태로는 딱히 별다른 의미가 있어보이지 않는다. 하지만 라이프니츠 공식(Leibniz formula)를 이용해서 식 (2)를 써보면 재밌는 성질을 얻어낼 수 있다.

$$ c\ det A = c \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma_i} \right) = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) c \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma_i} \right) \tag{3}$$

 

식 (3)이 성립하는 이유는 단순히 분배 법칙(distributivity) 덕분임을 알 수 있다. 그런데 또 내부의 곱셈끼리 연산을 보면 곱셈끼리는 교환 법칙(commutativity)가 성립한다.

 

식 (3)의 곱기호 뒤에 있는 연산은 여러 행렬 원소들의 곱셈이지만 저 상수 \( c \)를 적절히 특정 \( A_{i, \sigma_i}\)에 곱해줘서 새로운 행렬 성분을 만들어 낼 수 있다.

 

이를 잘 잡아주면 행렬식에 숫자를 곱하는 연산은 다음과 같이 특정 행(row)과 열(column)에 상수를 곱해서 만든 새로운 행렬의 행렬식으로 바꿀 수 있다.

$$ c \det A = c \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} cA_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ cA_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ cA_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ cA_{21} & cA_{22} & \cdots & cA_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{4}$$

 

식 (4)의 경우는 첫 번째 열과 두 번째 행에 대해 각각 상수 \( c \)를 곱해준 행렬의 행렬식으로 표현했다. 굳이 이 행과 열이 아니고 적당히 원하는 행 또는 열을 잡아줘도 이 성질은 잘 성립한다.

 

또한 이를 응용해서 각 모든 성분에 대해 상수 \( c \)를 곱한 행렬의 행렬식은 다음과 같음을 알 수 있다.

$$ \det (cA) = \begin{vmatrix} cA_{11} & cA_{12} & \cdots & cA_{1n} \\ cA_{21} & cA_{22} & \cdots & cA_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ cA_{n1} & cA_{n2} & \cdots & cA_{nn} \end{vmatrix} = c^n \det A \tag{5}$$

 

 

2. 행렬식 성분의 분해

 

이번엔 행렬의 특정 행 또는 열에 어떤 숫자가 더해진 경우를 생각해보자. 사실 원래 있던 행렬을 이런 형태로 붆해도 된다. 다음과 같은 행렬식을 생각해보자.

$$ \det A^{\prime} = \begin{vmatrix} A_{11} + B_{1} & A_{12} + B_{2} & \cdots & A_{1n} + B_{n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{6}$$

 

마찬가지로 이런 성분을 잡는데 있어서 굳이 \(1\)행이 아니어도 상관 없다. 다른 행 또는 열을 잡아도 이 성질은 유지된다. 이번에도 라이프니츠 공식을 이용해서 식 (6)을 표현해보자.

$$ \det A^{\prime} = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=2}^n A_{i, \sigma_i} (A_{1, \sigma_1} + B_{\sigma_1}) \right) \tag{7}$$

 

식 (7)에서 지금 식 (6)의 상황에 맞추기 위해서 \( 1 \)행 성분은 따로 표현해줬음에 유의하자. 다른 행과 열을 잡을 때에도 이를 어떻게 표현하는가가 중요해진다.

 

이번에도 마찬가지로 분배 법칙을 이용해서 식 (7)을 다음과 같이 분해해보자.

$$ \begin{matrix} \det A^{\prime} & = & \sum_{\sigma \in S_n} \left[ \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=2}^n \left( A_{i, \sigma_i} A_{1, \sigma_1} + A_{i, \sigma_i} B_{\sigma_1} \right) \right] \\ & = & \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma_i} \right) + \sum_{\sigma \in S_n} \left( \rm{sgn} (\sigma) \prod_{i=2}^n A_{i, \sigma_i} B_{\sigma_1} \right) \end{matrix} \tag{8}$$

\( A_{i, \sigma_i} \)에 대한 식들은 하나의 기호로 통합해 줄 수 있다.

 

식 (8)을 보면 결국 다음과 같은 식으 성립함을 알 수 있다.

$$ \begin{vmatrix} A_{11} + B_{1} & A_{12} + B_{2} & \cdots & A_{1n} + B_{n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} B_{1} & B_{2} & \cdots & B_{n} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \end{vmatrix} \tag{9}$$