행렬식의 성질과 표현 - 행렬 성분의 교차

다음과 같은 행렬식(determinant)을 생각해보자.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& detA=\left|\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n1}& A_{n2}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

 

만약 행렬(matrix) $A$ 두 행(column) 또는 열(row)의 자리를 바꾼 행렬의 행렬식을 생각해보자. 이러한 변화를 준 행렬을 $A^{\prime }$이라 하면 다음과 같은 모습을 의미하게 된다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cccc}{A}_{12}& A_{11}& \cdots & A_{1n}\\ A_{22}& A_{21}& \cdots & A_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{n2}& A_{n1}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right|\end{array}$$

지금보면 1열과 2열의 자리를 바꿨음을 알 수 있다.

 

식 (2)의 행렬식과 식 (1)의 행렬식 사이의 관계를 알아보자. 먼저 식 (1)의 행렬식을 라이프니츠 공식(Leibniz formula)를 이용해서 써보자.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& detA=\sum _{\sigma \in S_n}(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )\prod _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{i},{\sigma }_{\mathrm{i}}})\end{array}$$

 

이번엔 $A^{\prime }$의 행렬식을 써보자.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& det{A}^{\prime }=\sum _{\sigma \in S_n^{\prime }}(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )\prod _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{i},{\sigma }_{\mathrm{i}}})\end{array}$$

 

식 (3)과 식 (4) 사이에는 어떠한 차이점도 없는 것처럼 보인다. 이는 치환군(permutation) $S_n$을 $S_n^{\prime }$으로 바꾸면서 모든 변화를 넣어줬기 때문이다.

 

그러나 분명히 치환군을 바꾸면서 짝수 치환(even permutaiton)과 홀수 치환(odd permutation)에 변화가 생겼다. 즉, 숫자 순서를 바꾸면서 행렬식을 구하는 과정에서 배정해주는 $(+1)$과 $(-1)$이 뒤바뀐 열이 생성된다.

 

이 열을 중심으로 여인수(cofactor)를 잡게 되면 $\pm$이 뒤집힌 상태로 행렬식을 구하게 된다. 따라서 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& detA=-det{A}^{\prime }\end{array}$$

 

식 (5)는 한 번 바꿨을 때 일어나는 일이므로 똑같은 행동을 두 번 한다면 다시 $(-1)$이 곱해짐을 알 수 있다. 따라서 두 번 바꾼 행렬을 $A^{\prime \prime }$이라 하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(6)}& detA=det{A}^{\prime \prime }\end{array}$$

 

정말로 이 성질이 만족하는지 $3\times 3$ 행렬을 예시로 한 번 확인해보자. 다음과 같은 행렬식을 정의하자.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& detA=\left|\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right|\end{array}$$

 

행렬식을 계산하면 다음과 같다. 방법은 자유롭게 택해도 되지만 나는 $1$열을 잡고 여인수들을 이용해서 구한다.

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{ccc}detA& =& A_{11}\left|\begin{array}{cc}{A}_{22}& A_{23}\\ A_{32}& A_{33}\end{array}\right|-A_{12}\left|\begin{array}{cc}{A}_{21}& A_{23}\\ A_{31}& A_{33}\end{array}\right|+A_{13}\left|\begin{array}{cc}{A}_{21}& A_{22}\\ A_{31}& A_{32}\end{array}\right|\\ & =& A_{11}(A_{22}{A}_{33}-A_{23}{A}_{32})-A_{12}(A_{21}{A}_{33}-A_{23}{A}_{31})+A_{13}(A_{21}{A}_{32}-A_{22}{A}_{31})\end{array}\end{array}$$

 

이번엔 한 행을 바꿔서 다음과 같은 행렬식을 정의하자. 열을 바꿔도 상관은 없다.

$$\begin{array}{}\text{(9)}& det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{ccc}{A}_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right|\end{array}$$

 

식 (9)의 행렬식을 마찬가지로 계산하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{ccc}det{A}^{\prime }& =& A_{21}\left|\begin{array}{cc}{A}_{12}& A_{13}\\ A_{32}& A_{33}\end{array}\right|-A_{22}\left|\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{13}\\ A_{31}& A_{33}\end{array}\right|+A_{23}\left|\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{31}& A_{32}\end{array}\right|\\ & =& A_{21}(A_{12}{A}_{33}-A_{13}{A}_{32})-A_{22}(A_{11}{A}_{33}-A_{13}{A}_{31})+A_{23}(A_{11}{A}_{32}-A_{12}{A}_{31})\end{array}\end{array}$$

 

식 (10)을 재배열하면 다음과 같은 식을 구할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \begin{array}{ccc}det{A}^{\prime }& =& A_{12}{A}_{21}{A}_{33}-A_{13}{A}_{21}{A}_{32}-A_{11}{A}_{22}{A}_{33}+A_{13}{A}_{31}\\ & & +A_{11}{A}_{23}{A}_{32}-A_{12}{A}_{23}{A}_{31}\\ & =& -A_{11}(A_{22}{A}_{33}-A_{23}{A}_{32})+A_{12}(A_{21}{A}_{33}-A_{23}{A}_{31})-A_{13}(A_{21}{A}_{32}-A_{22}{A}_{31})\\ & =& -detA\end{array}\end{array}$$

 

두 번 교차에 대해선 $A^{\prime }$ 행렬이 $1$번 교차한 것과 같기 때문에 식 (6)이 성립함은 자명하다.