고전역학
-
라그랑주 역학 - 달랑베르 원리고전역학 2023. 2. 14. 19:00
선행해야 할 내용 뉴턴의 상대성... 갈릴레이 변환과 기준틀이란? 뉴턴 역학의 기초 - 뉴턴의 운동 3법칙(작용-반작용의 법칙) : https://boringphys.tistory.com/14 지난 작용-반작용의 법칙(action-reaction law) 글에서 마지막에 가속도(acceleration)를 어떻게 측정할 것이냐에 대 boringphys.tistory.com 라그랑주 역학 - 일반화된 좌표와 제약 조건 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용해서 역학(dynamics)을 기술하는 방식을 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)이라고 한다. 뉴턴 제 2법칙에서 정의된 힘(force)을 기반으로 방정식을 짜는 boringphys.tistory.com 우리..
-
자유 낙하 운동과 종단 속도고전역학 2023. 2. 9. 22:37
이번 글에서는 중력(gravitation) 아래에서 물체의 운동 방정식(equation of motion)을 세우고 이를 풀어보는 연습을 살펴보자. 먼저 질량(mass)이 \( m \)인 물체가 공기 저항을 받지 않는 경우, 자유 낙하 운동(free fall motion)을 고려해보자. 중력의 영향만 있으므로 뉴턴 제 2법칙(Newton's second law)에 의해 다음과 같이 운동 방정식을 세울 수 있다. $$\vec{F} = m \vec{a} = m \frac{d^2 \vec{r}}{d t^2} = m \left( \ddot{x} (t) \hat{x} + \ddot{y} (t) \hat{y} + \ddot{z} (t) \hat{z} \right) = - m g \hat{z} \tag{1}$$ 여기..
-
또 하나의 보존 법칙, 에너지 보존 법칙이란?고전역학 2023. 2. 4. 01:05
일에서부터 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지까지 : https://boringphys.tistory.com/27 지난 글에서 에너지(energy)의 종류와 어떻게 만들어지는가에 대해서 다뤘었다. 이번에는 에너지가 가지는 가장 중요한 성질 중 하나인 에너지 보존 법칙(energy conservation law)과 함께 에너지를 물리 문제에서 다루는 방법을 다뤄본다. 지난 글에서 에너지에는 운동 에너지(kinetic energy)와 퍼텐셜 에너지(potential energy)를 도입했었다. 이번엔 두 값을 합쳐서 총 에너지(total energy)를 정의하자. $$ E = T + V(x) = \frac{1}{2} m v^2 + V(x) \tag{1}$$ 이제 이 총 에너지가 시간에 대해서 어떻게 변하는지를 보자..
-
일에서부터 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지까지고전역학 2023. 2. 2. 20:06
이번 글에서는 일(work)과 에너지(energy)에 대해서 다뤄보려고 한다. 사실 현대 물리학에서는 뉴턴(Newton)의 힘(force)을 이용해서 운동 방정식(equation of motion)을 짜는 방식보단 에너지를 통해 물리적인 상황을 이해하는 경우가 많다. 먼저 일을 생각해보자. 우리는 많은 경우 힘이 위치에 따라 다른 경우를 생각하지 않는다. 그런 문제는 상당히 풀기 어렵기 때문에 최대한 그런 문제를 피해서 푸는데 현실적으로 힘은 위치마다 다르다. 대표적으로 중력(gravitation)의 경우 높이에 따라서 받는 중력이 달라진다. 지표면에서 느껴지는 중력과 우주 정거장에서 느껴지는 중력은 다르다. 이런 힘이 공간에 대한 함수로 주어진 경우를 생각해보자. 이렇듯 위치에 따라 달라지는 힘을 받는..
-
라그랑주 역학 - 일반화된 좌표와 제약 조건고전역학 2023. 1. 30. 02:56
오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 이용해서 역학(dynamics)을 기술하는 방식을 라그랑주 역학(Lagrange dynamics)이라고 한다. 뉴턴 제 2법칙에서 정의된 힘(force)을 기반으로 방정식을 짜는 것과 달리 라그랑주 역학은 오일러-라그랑주 방정식을 통해서 운동 방정식(equation of motion)을 짠다. 이번에는 라그랑주 역학을 만들기 이전에 필요한 일반화된 좌표(generalized coordinate)와 제약 조건(constraint condition)을 다뤄보려고 한다. 먼저 입자가의 개수가 많은 다체계(many body system)에서 뉴턴 제 2법칙은 다음과 같이 표현될 수 있다. 각 입자에 번호를 매겨서 이 변수를 \( i \)와 \..
-
뉴턴의 상대성... 갈릴레이 변환과 기준틀이란?고전역학 2023. 1. 28. 05:23
뉴턴 역학의 기초 - 뉴턴의 운동 3법칙(작용-반작용의 법칙) : https://boringphys.tistory.com/14 지난 작용-반작용의 법칙(action-reaction law) 글에서 마지막에 가속도(acceleration)를 어떻게 측정할 것이냐에 대해 언급했었다. 이번엔 올바른 기준틀(frame of reference)이란 무엇인지를 다뤄보려고 한다. 먼저 뉴턴(Newton)은 운동 법칙을 만들면서 이 법칙들이 의미를 가지기 위해선 물체의 운동을 표현할 기준틀이 필요하다는 것을 눈치챘다. 어떤 좌표계를 잡느냐에 따라서 물체의 운동을 서로 다르게 인식한다. 대표적으로 출발하는 버스 안에서 바라보는 버스 손잡이와 밖에서 바라보는 손잡이는 같은 대상을 바라보는 것이라고 하더라도 서로 다른 상황..
-
변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 오일러-라그랑주 방정식 유도고전역학 2023. 1. 23. 23:01
이번엔 지난 글의 변분법(calculus of varation)을 이용해서 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 유도해보자. 변분법 : https://boringphys.tistory.com/20 지난번 글에서 최적화 경로를 따르는 함수 \( J \)에 약간의 경로 변화를 주어서 그 변화 정도인 \( \varepsilon \)에 의존하는 함수로 바꿔 썼다. 이를 통해서 가능한 모든 경로 중 자연이 따르는 경로를 찾았다. $$J (\varepsilon) = \int^{x_2}_{x_1} f \left( y (x, \varepsilon), \dot{y} (x, \varepsilon) ; x \right) dx \tag{1} $$ $$ y(x, \varepsilon) = y(x..
-
변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 변분법고전역학 2023. 1. 21. 02:25
지난 글에서 페르마의 원리(Fermat's principle)을 통해서 자연에서 일어나는 현상들은 어떤 함수를 최소화하는 방향으로 일어남을 보였다. 이번에는 어떤 물리계를 기술할 수 있는 함수를 만든 다음 이를 최소화하는 경로를 찾는 수학적 방법을 소개하려고 한다. 이를 변분법(calculus of variations)라고 한다. 일단 최적화된 경로를 알기 위해서는 어떤 함수를 경로를 따라 적분을 하는 것이 필요하다. 가장 간단하게 1차원 직선 경로를 생각해보자. 두 점 사이를 잇는 연속 함수(continuous function)가 존재할 것이므로 위치 \(y\)는 \( x \)에 대한 함수로 표현할 수 있다. \( x \)는 위치를 표현하는 어떤 변수라고 하자. 많은 경우 물리학에선 시간이 사용된다. ..