또 하나의 보존 법칙, 에너지 보존 법칙이란?

 

일에서부터 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지까지 : https://boringphys.tistory.com/27

 

지난 글에서 에너지(energy)의 종류와 어떻게 만들어지는가에 대해서 다뤘었다. 이번에는 에너지가 가지는 가장 중요한 성질 중 하나인 에너지 보존 법칙(energy conservation law)과 함께 에너지를 물리 문제에서 다루는 방법을 다뤄본다.

 

지난 글에서 에너지에는 운동 에너지(kinetic energy)와 퍼텐셜 에너지(potential energy)를 도입했었다. 이번엔 두 값을 합쳐서 총 에너지(total energy)를 정의하자.

$$ E = T + V(x) = \frac{1}{2} m v^2 + V(x) \tag{1}$$

 

이제 이 총 에너지가 시간에 대해서 어떻게 변하는지를 보자. 시간에 대한 미분을 구하면 그 변화를 유추할 수 있다.

$$ \frac{dE}{dt} = \frac{dT}{dt} + \frac{d V(x)}{dt} \tag{2}$$

 

 

먼저 운동 에너지의 미분을 구해야 한다. 일(work)를 다룰때 다음과 같은 식을 적분해서 운동 에너지를 생각했었다.

$$ \vec{F} \cdot d \vec{r} = d\left( \frac{1}{2} m v^2 \right) = dT \tag{3}$$

 

따라서 다음과 같이 식을 바꿔서 운동 에너지의 시간에 대한 미분을 생각할 수 있다.

$$ \vec{F} \cdot \frac{d \vec{r}}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v} = \frac{dT}{dt} \tag{4}$$

 

 

이번엔 퍼텐셜 에너지의 시간 미분을 봐야한다. 현재 퍼텐셜 에너지는 공간에 대한 함수로 썼기 때문에 다음과 같이 바꿔야 한다.

$$ \frac{d V}{dt} = \sum_{i} \frac{\partial V}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial t} \tag{5}$$

 

문제가 몇 차원(dimension)이냐에 따라서 좌표에 대한 덧셈이 달라진다. 3차원 문제의 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \frac{d V}{dt} = \sum_{i}^3 \frac{\partial V}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial V}{\partial x_1} \frac{\partial x_1}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x_2} \frac{\partial x_2}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x_3} \frac{\partial x_3}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial t} \tag{6}$$

 

다시 식 (5)로 돌아가서 속도(velocity)의 정의를 사용하면 다음과 같이 식이 정리된다.

$$\frac{dV}{dt} = \sum_{i} \frac{\partial V}{\partial x_i} \dot{x_i} + \frac{\partial V}{\partial t} \tag{7}$$

 

3차원 문제의 경우 식 (7)은 다음과 같은 기호로 표현된다.

$$\frac{dV}{dt} = (\vec{\nabla} V) \cdot \dot{\vec{r}} + \frac{\partial V}{\partial t} \tag{8}$$

 

 

이제 식 (8)과 식 (4)를 식 (2)에 대입해보자.

$$\frac{dE}{dt} = \vec{F} \cdot \dot{\vec{r}} + (\vec{\nabla} V) \cdot \dot{\vec{r}} + \frac{\partial V}{\partial t} \tag{9}$$

 

그런데 지난 글에서 퍼텐셜 에너지와 보존력(conservative force) 사이에는 \( \vec{F} = - \vec{\nabla} V\)라는 관계가 성립한다. 따라서 식 (9)는 힘이 보존력인 경우를 가정하면 다음과 같이 변한다.

$$\frac{dE}{dt} = \vec{F} \cdot \dot{\vec{r}} - \vec{F} \cdot \dot{\vec{r}} + \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial V}{\partial t} \tag{10}$$

 

여기서 퍼텐셜 에너지가 시간에 의존하지 않는 경우를 고려해보자. 많은 경우 그런 성질을 가진다고 언급했었다. 따라서 에너지의 시간 미분은 \( 0 \)이 된다.

$$ \frac{dE}{dt} = \frac{\partial V}{\partial t} = 0 \tag{11}$$

 

식 (11)을 해석해보자면 어떤 계(system)의 전체 에너지는 시간이 지나도 변하지 않는다. 특히 양변을 적분하면 에너지는 어떤 상수 값으로 고정된다. 물리학적으로 말이 되는 경우를 만들면 처음 에너지가 유지된다.

$$ E = E_0 \tag{12}$$

 

이렇게 시간에 대해서 변하지 않는 경우를 보존된다고 한다. 운동량(momentum)의 경우 외력(external force)가 없다면 전체 운동량이 보존되었듯이 계가 외부와 어떤 상호작용(interaction)이 없다면 에너지는 보존된다.

 

 

이러한 에너지 보존 법칙은 시간의 등질성(homogeneity)에서 나온다. 운동량 보존 법칙(momentum conservatio law)은 어느 위치에서 보던 운동 방정식은 변화가 없다는 공간의 등질성에서 유도가 되었다고 언급한 바 있었다.

 

에너지 보존 법칙은 어느 시간이든 운동 방정식은 변화가 없는 시간의 등질성이 만들어내는 현상이다. 이 방법을 통한 보존 법칙의 유도는 뇌터의 정리(Noether's theorem)을 이용해서 보일 수 있다.

 

추가적으로 에너지 보존 법칙은 굳이 닫힌 계에서만 성립하는 법칙은 아니다. 식 (11)을 이끌어내는 과정에서 언급했듯이 외부에서 작용하는 퍼텐셜이 시간에 대해 변하지 않는다면 성립하게 되어 있다.

 

그래서 우리는 에너지를 이용해서 물리 문제를 풀 경우 어떤 퍼텐셜이 걸린 상황에서 총 에너지는 보존이 되고 물체의 위치가 변하면서 변화된 퍼텐셜 에너지가 운동 에너지로 변환된다고 이해하면서 문제를 풀게 된다.

 

일에서부터 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지까지