변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 변분법

지난 글에서 페르마의 원리(Fermat's principle)을 통해서 자연에서 일어나는 현상들은 어떤 함수를 최소화하는 방향으로 일어남을 보였다.

 

이번에는 어떤 물리계를 기술할 수 있는 함수를 만든 다음 이를 최소화하는 경로를 찾는 수학적 방법을 소개하려고 한다. 이를 변분법(calculus of variations)라고 한다.

 

 

일단 최적화된 경로를 알기 위해서는 어떤 함수를 경로를 따라 적분을 하는 것이 필요하다. 가장 간단하게 1차원 직선 경로를 생각해보자.

 

두 점 사이를 잇는 연속 함수(continuous function)가 존재할 것이므로 위치 \(y\)는 \( x \)에 대한 함수로 표현할 수 있다. \( x \)는 위치를 표현하는 어떤 변수라고 하자. 많은 경우 물리학에선 시간이 사용된다.

 

좀 더 구체적으로 \( x \)가 \(x_1 \)에서 \( x_2 \)로 변하는 경우를 생각해보자. 이때 대응되는 \( y \)를 \( y_1 =  y(x_1) \), \( y_2 = y(x_2) \)라고 하자. 여기에 다음과 같은 \( y \) 미분(derivative)을 생각해보자.

$$ \dot{y} (x) = \frac{dy(x)}{dx} \tag{1}$$

 

이제 최적화된 경로를 찾기 위한 경로 의존 함수 \( f(y, \dot{y}; x) \)를 생각해보자. 나중엔 구체적으로 어떤 함수인지 얘기할 것이지만 일단 임의의 함수에 대해서 먼저 다뤄보자.

 

 

이제 다음과 같이 우리가 보고자 하는 점 사이를 구간으로 해서 \( f(y, \dot{y}; x) \)의 선적분(line integral)을 생각해보자.

$$J[y] = \int^{x_2}_{x_1} f(y, \dot{y}; x) dx \tag{2}$$

 

지금 보면 \( J \)는 함수 \( y \)에 대한 함수라고 볼 수 있다. 수학적으론 간단하게 합성 함수(composite function)으로 이해할 수 있지만 물리학에선 이런 함수에 특별하게 범함수(functional)라는 이름을 붙여준다.

 

이제 우리는 이 범함수가 최소화를 시켜볼 것이다. 아직까진 임의의 함수지만 이 함수를 잘 찾으면 Introduction에서 얘기했던 원리를 적용시킬 수 있을 것이다.

 

 

만약 최소화된 경로의 경우 이 경로에서 약간의 변화를 주면 변화된 경로는 얼마나 가깝던간에 절대 자연에서 일어나지 않는 경로가 된다.

 

아주 약간 변하는 경우만 생각하기 위해서 아주 작은 변수 \( \varepsilon \)을 도입해보자. 그리고 변화된 양을 표현할 수 있는 함수 \( \eta(x) \)가 있다고 하면 다음과 같이 변화된 경로를 표현할 수 있다.

$$ y(x, \varepsilon) = y(x, 0) + \varepsilon \eta(x) \tag{3}$$

$$ \dot{y}(x, \varepsilon) = \dot{y} (x, 0) + \varepsilon \dot{\eta} (x) \tag{4}$$

여기서 \(0\)이 들어간 식들은 변화를 주지 않은 최소화된 경로를 의미한다.

 

이때 경로에서 벗어난 정도를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$ \delta y = \varepsilon \eta (x) \tag{5}$$

 

그리고 식 (5)의 표현법을 이용해서 \( J \)의 변화를 표현할 수 있다.

$$ \delta J[y] = J[y + \varepsilon \eta] - J [y] = \delta \int^{x_2}_{x_1} f(y, \dot{y}; x) dx \tag{6}$$

 

 

이번엔 식 (3)과 식 (4)를 이용해서 변화된 \( J \)를 적분식으로 표현해보자. 이때 \(J\)는 \(\varepsilon\)을 변수로 가지는 함수라고 볼 수 있다.

$$ J(\varepsilon) = \int^{x_2}_{x_1} f\left( y(x, \varepsilon), \dot{y} (x, \varepsilon) ; x \right) dx \tag{7}$$

 

식 (7)을 이용하면 어떤 한 최적화된 경로를 기준으로 삼아 변수 \( \varepsilon \) 값에 따른 가능한 모든 경로를 다 고려할 수 있다. 이제 우리는 이 어떤 선적분으로 표현된 경로 함수를 최소화하는 경로를 찾을 것이다.

 

사실 해당 경로는 \( \varepsilon = 0 \)인 경로고 사실 식 (7)을 만들어내는데 사용한 원리가 최소화 경로에서 변화를 주는 방식이었다. 여기서 사용할 가장 중요한 성질은 최소화 경로에선 미분 계수(differential coefficient)가 \( 0 \)이란 사실이다. 이러한 점을 임계점(stationary point)라고 한다.

 

미분 계수는 해당 지점에서의 변화 정도를 의미하기 때문에 미분 계수가 \( 0 \)이란 사실은 그 점에선 변화하지 않는다는 의미이며 반대로 \( 0 \)이 아니면 변하려 한다는 점이다. 우리는 자연이 최적화 경로를 따른다고 생각했으므로 이는 타당한 추론이다.

 

 

따라서 결국 최종 식은 다음과 같다.

$$ \left. \frac{\partial J(\varepsilon)}{\partial \varepsilon} \right|_{\varepsilon=0} = 0 \tag{8}$$

 

식 (8)을 정리해서 풀게 되면 결국 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)이 나타난다. 이는 다음 글에서 마저 유도하도록 하겠다.

 

변분법에서 사용한 원리를 총정리하자면 우리는 먼저 자연의 현상은 최적화된 경로를 따라간다고 가정한다. 그래서 이 경로를 찾기 위해 어떤 최적화된 경로가 있다고 가정한다음 그 경로에 변화를 줘서 변화에 대한 함수 즉, 식(7)을 만든다.

 

마지막으로 식 (7)은 모든 경로를 고려하는 함수지만 그러한 모든 경로 중 자연이 따르는 최적화된 경로는 해당 함수의 임계점이란 사실을 이용한다.