변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 오일러-라그랑주 방정식 유도

이번엔 지난 글의 변분법(calculus of varation)을 이용해서 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)을 유도해보자.

 

변분법 : https://boringphys.tistory.com/20

 

 

조세프 루이 라그랑주

지난번 글에서 최적화 경로를 따르는 함수 \( J \)에 약간의 경로 변화를 주어서 그 변화 정도인 \( \varepsilon \)에 의존하는 함수로 바꿔 썼다. 이를 통해서 가능한 모든 경로 중 자연이 따르는 경로를 찾았다.

$$J (\varepsilon) = \int^{x_2}_{x_1} f \left( y (x, \varepsilon), \dot{y} (x, \varepsilon) ; x \right) dx \tag{1} $$

$$ y(x, \varepsilon) = y(x) + \varepsilon \eta (x) \tag{2} $$

$$ \dot{y} (x, \varepsilon) = \dot{y} (x) + \varepsilon \dot{\eta} (x) \tag{3} $$

 

변분법에서 사용한 방법은 식 (1)의 \( J(\varepsilon) \)의 임계점(stationary point)를 찾는 것이었다. 이 과정을 마저 따라가보자.

$$ \frac{\partial J(\varepsilon)}{\partial \varepsilon} = \int^{x_2}_{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \varepsilon} + \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \frac{\partial \dot{y}}{\partial \varepsilon} \right] dx = 0 \tag{4} $$

 

 

식 (2)와 식 (3)의 관계식을 이용해서 미분(differentiation) 함수를 찾을 수 있다.

$$ \frac{\partial y(x, \varepsilon)}{\partial \varepsilon} = \eta (x) \tag{5} $$

$$ \frac{\partial \dot{y} (x, \varepsilon) }{\partial \varepsilon} = \dot{\eta} (x) \tag{6} $$

 

이제 식 (5)와 식 (6)을 식 (4)에 대입해서 식을 정리해보면

$$ \int^{x_2}_{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} \eta (x) + \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \dot{\eta}(x) \right] dx = 0 \tag{7} $$

 

 

여전히 식 (7)은 실제 문제에 사용하기 어려운 형태이다. 그래서 \( \dot{\eta} (x) \) 항을 다음과 같이 곱미분(product rule)을 이용해서 변형시켜보자.

$$ \frac{d}{dx} \left( \eta(x) \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) = \dot{\eta}(x) \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} + \eta (x) \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) \tag{8}$$

$$ \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \dot{\eta} (x) = \frac{d}{dx} \left( \eta(x) \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) \eta(x) \tag{9}$$

 

식 (9)를 식 (7)에 대입해보면

$$\begin{matrix} \frac{\partial J(\varepsilon)}{\partial \varepsilon} & = & \int^{x_2}_{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} \eta(x) + \frac{d}{dx} \left( \eta (x) \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) \eta(x) \right] dx\\ & = & \int^{x_2}_{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) \right] \eta(x) dx + \left( \eta(x_2) - \eta(x_1) \right) \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \\ & = & 0 \end{matrix}$$

 

그런데 시작점 \( x_1 \)과 도착점 \( x_2 \)에서 경로 변화는 없다. 그렇지 않다면 시작점과 도착점이란 개념 자체가 잘 정의되지 않기 때문에 문제 설정 자체에 문제가 생긴다. 따라서 \( \eta(x_1) = \eta(x_2) = 0\)이라고 하면 최종적으로

$$\frac{\partial J (\varepsilon)}{\partial \varepsilon} = \int^{x_2}_{x_1} \left[ \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) \right] \eta(x) dx = 0 \tag{10}$$

 

 

레온하르트 오일러

식 (10)을 분석해보자. 임계점에선 항상 \(J\)의 미분이 \( 0 \)이 되어야 하는데 \( \eta(x) \)는 경로 변화를 위해 넣어준 임의의 함수기 때문에 굳이 \( 0 \)일 필요가 없다. 오히려 \( 0 \)이 아닌 것이 더 자연스럽다.

 

따라서 적분 내부의 괄호 식이 \( 0 \)이 되어야 식 (10)이 임의의 경로 변화에 대해 항상 성립하는 식이 될 수 있다. 이를 정리해보면 다음과 같은 식이 된다.

$$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial \dot{y}} \right) = 0 \tag{11}$$

 

식 (11)이 바로 오일러-라그랑주 방정식이다. 다음 글에서는 대체 이 방정식을 어떻게 실제 물리 문제에 적용시킬 수 있는지 알아볼 예정이다.