뉴턴의 상대성... 갈릴레이 변환과 기준틀이란?

뉴턴 역학의 기초 - 뉴턴의 운동 3법칙(작용-반작용의 법칙) : https://boringphys.tistory.com/14

 

지난 작용-반작용의 법칙(action-reaction law) 글에서 마지막에 가속도(acceleration)를 어떻게 측정할 것이냐에 대해 언급했었다. 이번엔 올바른 기준틀(frame of reference)이란 무엇인지를 다뤄보려고 한다.

 

먼저 뉴턴(Newton)은 운동 법칙을 만들면서 이 법칙들이 의미를 가지기 위해선 물체의 운동을 표현할 기준틀이 필요하다는 것을 눈치챘다. 어떤 좌표계를 잡느냐에 따라서 물체의 운동을 서로 다르게 인식한다.

 

대표적으로 출발하는 버스 안에서 바라보는 버스 손잡이와 밖에서 바라보는 손잡이는 같은 대상을 바라보는 것이라고 하더라도 서로 다른 상황으로 인지하게 된다.

 

 

내부에서 바라보는 사람에게는 손잡이가 정지해있기 때문에 손잡이의 가속도를 \( 0 \)으로 인지하고 따라서 물체에 작용하는 힘(froce)는 \( 0 \)으로 생각한다.

$$ \vec{F}_{in} = 0 \tag{1}$$

 

하지만 바깥에서 바라보는 사람에게는 버스와 같은 방향으로 가속하기 때문에 손잡이에 작용하는 힘은 \( 0 \)이 아니다.

$$ \vec{F}_{out} = m \vec{a} \neq 0 \tag{2}$$

 

이런 모순을 해결하기 위해서 우리는 올바른 운동을 기술하는 좌표계(coordinate system)을 설정해야 한다.

 

 

갈릴레오 갈릴레이

뉴턴의 운동 법칙이 의미를 가지기 위해서 우리가 잡는 기준틀은 관성계(inertial frame)이다. 관성계는 정지해있거나 외부에서 어떤 받지 않고 등속 운동하는 좌표계를 의미한다.

 

관성계 사이에서는 한 운동에 대해 서로 같은 뉴턴의 법칙, 즉 힘을 기술하게 된다. 그 이유를 살펴 보기 위해서 상대 속도(relative velocity)를 생각해보자.

 

속도(velocity) \( \vec{v}_a \)로 움직이는 A 관성계를 생각해보자. 물론 \( \vec{v}_a = 0 \)일 수도 있다. 그리고 다른 관성 좌표계에서 가속운동하는 물체 B를 생각해보자.

 

물체 B는 가속운동하므로 속도는 속도에 의존하는 함수가 될 것이다.

$$ \vec{v}_b = \vec{v} (t) \tag{3}$$

 

이때 A에서 바라본 B의 속도는 다음과 같이 측정된다.

$$ \vec{v}_{ab} = \vec{v} (t) - \vec{v}_a \tag{4}$$

 

물체가 받는 힘은 다음과 같이 주어진다.

$$ \vec{F}_b = m_b \vec{a}_b = m_b \frac{d (\vec{v} (t) - \vec{v}_a )}{dt} = m_b \vec{a}(t) \tag{5}$$

따라서 B가 따르는 운동 법칙은 A의 속도에 관여하지 않는다.

 

이러한 내용을 갈릴레이 불변성(Galilean invariance) 또는 뉴턴의 상대성 원리(principle of Newtonian relativity)라고 부른다.

 

 

이러한 성질은 뉴턴이 생각한 공간(space)의 성질에서 기인한다. 뉴턴은 기본적으로 등질적(homogeneous)이고 등방적(isotropic)한 공간을 가정했다.

 

등질적이란 좌표에 관계 없이 모든 공간에서 물체의 운동은 동등하다는 의미를 가진다. 가령 만유인력의 법칙(universal gravitation law)은 지구에서나 목성에서나 동일한 방정식을 따를것이다.

 

반대로 비등질적(inhomogeneous)란 물체들이 서로 상호작용(interaction)을 하지 않는 경우 마저도 위치에 따라서 서로 다른 방정식이 펼쳐지는 경우로 비관성계(non-inertial frame)에서 이러한 일이 일어날 수 있다. 내 가속 운동으로 인해 만유인력의 법칙에 추가 항이 붙는다.

 

등방적이란 어떤 방향에서 보더라도 물리 법칙이 변하지 않는 경우를 의미한다. 중력을 받아 낙하하는 물체는 어떤 방향에서 보더라도 동등한 운동을 보여준다.

 

심지어 시간에도 이런 등질성을 논의할 수 있다. (시간의 특성상 등방성은 좀 어렵다.) 만유인력의 법칙은 시간이 많이 흐른다고 해서 그 방정식이 변하지 않는다.

 

 

관성계란 공간에 대해서 등질적, 등방적이며 시간에 대해서 등질적인 좌표계를 의미한다. 관성계에선 힘을 받지 않는 물체는 속도의 방향과 크기가 변하지 않는다는 관성의 법칙(principle of inertia)가 성립한다.

 

앞서 다뤘던 것처럼 관성계 사이에선 같은 운동 법칙을 만들어내고 따라서 어떤 관성계가 더 선호되거나 더 옳은 관성계라고 할 수 없다. 정지한 관성계나 등속 운동하는 관성계나 동일하다.

 

모든 관성계에서의 시간과 공간은 같은 성질을 공유하고 있으며 같은 물리 법칙을 따른다.

 

 

아이작 뉴턴

이번엔 A라는 관성계와 B라는 관성계가 있어서 A에서 바라본 B를 생각해보자. 정지한 관성 좌표계에서 원점을 잡고 A의 위치를 \( \vec{r}_a \), B의 위치를 \( \vec{r}_b \)라고 하자.

 

A 관성계의 속도를 \( \vec{v}_a \)라고 하고 B 관성계의 속도를 \( \vec{v}_b \)라고 설정하면 각각의 시간 \( t_a \)와 \( t_b \)에서 측정한 물체의 위치는 다음과 같다.

$$ \vec{r}_a (t) = \vec{r}_a (0) - \vec{v}_a t_a \tag{6}$$

$$ \vec{r}_b (t) = \vec{r}_b (0) - \vec{v}_a t_b \tag{7}$$

 

\( t_a = t_b = t\)로 같은 시간동안 운동했다고 가정하면 식 (6)과 식(7)을 연립해서 다음과 같은 식을 만들 수 있다.

$$ \Delta \vec{r} (t) = \vec{r}_a (t) - \vec{r}_b (t) = \left( \vec{r}_a (0) - \vec{r}_b (0) \right) + (v_b - v_a)t = \Delta \vec{r} (0) + \vec{v}_{ba} t \tag{8}$$

여기서 \( \vec{v}_{ba} \)는 A 관성계와 B 관성계 사이의 상대 속도를 의미한다.

 

처음에 두 관성계 전부 원점에서 출발했다고 하고 \( \vec{v} = \vec{v}_{ba} \)라고 정의하면 식 (8)은 다음과 같이 정리된다.

$$ \vec{r}_b (t) = \vec{r}_a (t) - v t \tag{9}$$

 

 

이를 3차원으로 확장하면 다음과 같은 식으로 정리할 수 있다.

$$\begin{matrix} x_b = x_a - v t \\ y_b = y_a \\ z_b = z_a \end{matrix} \tag{10}$$

$$ t_a = t_b \tag{11}$$

 

식 (10)과 (11)을 통틀어서 갈릴레이 변환(Galilean transformation)이라고 부른다.