에르미트 행렬의 성질

 

지난 글에서 특수한 행렬(matrix) 집단인 에르미트 행렬(Hermitian matrix)에 대해 다뤘었다. 이번에는 이 에르미트 행렬들의 성질에 대해서 다뤄보자.

 

먼저 두 에르미트 연산자(Hermitian operator) $\hat{A}$ 와 $\hat{B}$에 대해서 두 행렬의 곱인 $\hat{A} \hat{B}$는 어떻게 될지 살펴보자.

 

$\hat{A} \hat{B}$에 수반(adjoint) 작용을 가하면 다음과 같다.

$$\left( \hat{A} \hat{B} \right)^{\dagger} = \hat{B}^{\dagger} \hat{A}^{\dagger} = \hat{B} \hat{A} \tag{1}$$

 

식 (1)의 결과에 의하면 두 에르미트 연산자가 곱해서 만들어낸 새로운 행렬은 에르미트 연산자가 아닐 수도 있다. 만약 두 연산자가 교환(commutation)이 가능하다면 에르미트 행렬이 되지만 양자역학(quantum mechanics)에는 그렇지 못한 연산자 조합이 많다.

 

가장 대표적으로 운동량(momentum) 연산자와 위치(position) 연산자가 교환하지 않는다. 다시 말해서 운동량과 위치를 동시에 측정하는 행위는 확률이 제대로 정의되지 않는다. 이는 불확정성 원리(uncertainty principle)과 연관이 있음을 시사한다.

 

 

하지만 $\hat{A} \hat{B} + \hat{B} \hat{A}$라는 행렬은 에르미트 행렬이 된다.

$$\left( \hat{A} \hat{B} + \hat{B} \hat{A} \right)^{\dagger} = \hat{B}^{\dagger} \hat{A}^{\dagger} + \hat{A}^{\dagger} \hat{B}^{\dagger} = \hat{B} \hat{A} + \hat{A} \hat{B} \tag{2}$$

 

$\hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}$는 반에르미트 행렬(anti-Hermtian matrix)가 된다,

$$\left( \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \right)^{\dagger} = \hat{B}^{\dagger} \hat{A}^{\dagger} - \hat{A}^{\dagger} \hat{B}^{\dagger} = \hat{B} \hat{A} - \hat{A} \hat{B} \tag{3}$$

 

이를 살짝 응용하면 $i \left( \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \right)$는 에르미트 행렬이 된다.

$$\left[ i \left( \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \right) \right]^{\dagger} = -i \hat{B}^{\dagger} \hat{A}^{\dagger} + i \hat{A}^{\dagger} \hat{B}^{\dagger} = i\left( -\hat{B} \hat{A} + \hat{A} \hat{B} \right) \tag{4}$$

 

똑같은 에르미트 연산자를 두 번 곱해 만든 행렬 $\hat{A}^2$$은 에르미트 행렬이 된다.

$$\left( \hat{A}^2 \right)^{\dagger} = \left( \hat{A}^{\dagger} \right)^2 = \hat{A}^2 \tag{5}$$

 

 

이번엔 어떤 에르미트 행렬 $\hat{A}$에 의해 벡터 성분(vector component)이 변하지 않는 벡터, 고유 벡터(eigenvector) $\left| \phi_n \right>$과 대응되는 고유값(eigenvalue) $\lambda_n$이 있다고 해보자.

$$\hat{A} \left| \phi_n \right> = \lambda_n \left| \phi_n \right> \tag{6}$$

 

$\hat{A}$가 $n \times n$ 행렬이라면 $n$개의 고유 벡터와 대응되는 고유값이 있기 때문에 첨자 $n$이 추가 되었다. 자세한 것은 이후 글에서 다루도록 하자.

 

이제 식 (6)에 쌍대 공간(dual space)의 켓 벡터(ket vector) $\left< \phi_n \right|$을 가해보자.

$$ \left< \phi_n \right| \hat{A} \left| \phi_n \right> = \lambda_n \left< \phi_n \right. \left| \phi_n \right> = \lambda_n \tag{7}$$

 

그런데 반대로 $\hat{A}$가 에르미트 행렬이므로 켓 공간에서 식 (6)에 대응되는 식을 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\left< \phi_n \right| \hat{A}^{\dagger} = \left< \phi_n \right| \hat{A} = \lambda_n^* \left< \phi_n \right| \tag{8}$$

 

이번엔 식 (8)에 브라 벡터(bra vector) $\left| \phi_n \right>$을 가해보자.

$$\left< \phi_n \right| \hat{A} \left| \phi_n \right> = \lambda_n^* \left< \phi_n \right. \left| \phi_n \right> = \lambda_n^* \tag{9}$$

 

식 (7)과 식 (9)를 종합하면 에르미트 행렬의 고유값은 실수여야 함이 증명됐다. 이는 물리량을 표현하는 연산자가 반드시 에르미트 행렬이어야 한다는 사실과 연결된다.

$$\lambda_n = \lambda_n^* \tag{10}$$

 

 

이번엔 식 (6)에 또 다른 고유 벡터 $\left< \phi_m \right|$을 가해보자.

$$\left< \phi_m \right| \hat{A} \left| \phi_n \right> = \lambda_n \left< \phi_m \right. \left| \phi_n \right> \tag{11}$$

 

이번엔 식 (8)을 살짝 변형하여 $n$에 대한 식이 아닌 $m$에 대한 식으로 바꾼 뒤 $\left| \phi_n \right>$을 가해보자.

$$\left< \phi_m \right| \hat{A} \left| \phi_n \right> = \lambda_m^* \left< \phi_m \right. \left| \phi_n \right> = \lambda_m \left< \phi_m \right. \left| \phi_n \right> \tag{12}$$

 

식 (11)과 (12)를 이용하면 다음과 같은 식을 얻게 된다.

$$(\lambda_n - \lambda_m) \left< \phi_m \right. \left| \phi_n \right> \tag{13}$$

 

만약 고유값 $\lambda_n = \lambda_m$라면 두 고유 벡터의 고유값이 같은 경우이며 이를 양자역학적으로 축퇴(degenerate)되어 있다고 말한다. 같은 고유값을 공유하는 벡터가 존재하는 경우를 의미한다.

 

반대로 $\lambda_n \neq \lambda_m$라면 두 고유 벡터의 고유값이 서로 다르므로 비축퇴(non-degenerate)되어 있다고 한다. 양자역학에서 이러한 상태의 문제를 풀고자 하는 경우가 많다.

 

만약 모든 양자 상태(quantum state)가 서로 비축퇴되어 있는 상황이라면 식 (13)에서 앞부분의 고유값 상수는 $0$이 될 수 없다. 따라서 다음과 같은 결론을 얻게 된다.

$$\left< \phi_m \right. \left| \phi_n \right> = 0 \tag{14}$$

 

 

이는 비축퇴된 양자 상태의 경우 이 상태를 기술하는 고유 벡터들이 서로 직교(orthogonal)함을 알 수 있다. 즉, 어떤 양자 상태를 직교 기저(orthogonal basis)로 표현할 수 있다.

 

모든 얘기를 종합하면 물리량을 기술하는 연산자의 경우 비축퇴된 상황을 가정한다면 그때 대응되는 고유 벡터들은 직교 기저로 사용될 수 있다.

 

이는 어떤 파동 함수(wave function)을 해당 고유 벡터들의 합으로 표현할 수 있다는 의미를 내포하고 있다. 더욱이 직교 기저를 이루기 때문에 원하는 상태로 갈 확률을 쉽게 구할 수 있다.

 

기존에 사용했던 표현을 그대로 인용하면 어떤 파동 함수 $\left| \psi \right>$는 다음과 같이 쓸 수 있다는 의미다.

$$\left| \psi \right> = c_1 \left| \phi_1 \right> + c_2 \left| \phi_2 \right> + \cdots = \sum_n c_n \left| \phi_n \right> \tag{15}$$

 

이때 직교 기저의 성질을 이용하면 다음과 같이 특정 상수만 사영(projection) 할 수 있다.

$$\left< \phi_m \right| \left. \psi \right> = c_m \tag{16}$$

 

식 (16)은 여러 상태가 중첩(superposition)된 양자 상태에서 측정(measure)을 할 경우 $\left< \phi_m \right|$ 될 확률을 의미하는 식이다.

 

에르미트 연산자와 반에르미트 연산자

 

왜 확률이었는가? 보른의 확률 해석

 

양자역학의 기초 - 행렬과 연산자