유니타리 행렬과 회전 변환

 

이번 글에서는 양자역학(quantum mechanics)에서 종종 볼 수 있는 행렬(matrix)의 한 형태인 유니타리 행렬(unitary matrix)에 대해서 다뤄보려고 한다.

 

양자역학의 연산자(operator) 중에서 회전 변환(rotational transformation)을 다루는 연산자들은 유니타리 행렬의 형태를 가지고 있는데 간단한 예시도 이번 글에서 다뤄볼 예정이다.

 

먼저 아주 간단하게 유니타리 행렬이란 다음과 같은 성질을 만족하는 행렬을 의미한다.

$$U U^{\dagger} = I \tag{1}$$

 

식 (1)에서 보면 어떤 행렬 $U$의 수반 행렬(adjoint matrix)가 $U$의 역행렬(inverse matrix)가 되는 경우 $U$를 유니타리 행렬이라고 부른다. 이를 다른 방식으로 표현하면 다음과 같다.

$$U^{-1} = U^{\dagger} \tag{2}$$

 

에르미트 행렬(Hermitian matrix)를 다루던 글에서 에르미트 행렬을 숫자에 대응시키면 마치 실수(real number)와 같았고 반에르미트 행렬(anti-Hermitian matrix)는 순허수(pure imaginary number)와 같았다.

 

마찬가지로 유니타리 행렬의 경우를 숫자에 대응시킬 수 있는데 정확히 크기가 $1$인 어떤 복소수(complex number)에 해당한다. 크기가 $1$인 복소수의 경우 오일러 공식(Euler's formula)에 의해 다음과 같이 표현되므로 실제로 식 (1)과 유사함을 알 수 있다.

$$u = e^{i \theta} \tag{3}$$

$$u u^* = e^{i \theta} e^{-i \theta} = 1 \tag{4}$$

 

 

이제 유니타리 행렬의 몇가지 성질을 한 번 살펴보자. 먼저 두 유니타리 행렬의 곱으로 이루어진 새로운 행렬은 똑같이 유니타리 행렬이 된다. 

 

이를 보이기 위해서 두 유니타리 행렬 $U$와 $V$의 곱으로 이루어진 $W = UV$를 정의해보자. 그렇다면 수반 연산(adjoint operation)의 성질에 의해 다음과 같이 $W^{\dagger}$를 찾을 수 있다.

$$W^{\dagger} = (UV)^{\dagger} = V^{\dagger} U^{\dagger} \tag{5}$$

 

이제 $W$와 $W^{\dagger}$를 곱하고 $U$와 $V$가 각각 유니타리 행렬이라는 성질을 사용하면 $W$ 또한 식 (1)을 만족해 유니타리 행렬이 됨을 보일 수 있다.

$$W W^{\dagger} = U V V^{\dagger} U^{\dagger} = U U^{\dagger} = I \tag{6}$$

 

 

다음으로 유니타리 행렬로 벡터(vector)를 변환시킬 경우 유니타리 행렬을 또다른 말로 유니타리 변환(unitary transformation)이라고 부른다.

 

만약 두 벡터 $\left| V_1 \right>$과 $ \left| V_2 \right> $가 유니타리 행렬 $U$에 의해 변할 경우를 생각해보자.

$$ \left| V_1^{\prime} \right> = U \left| V_1 \right> \tag{7}$$

$$ \left| V_2^{\prime} \right> = U \left| V_2 \right> \tag{8}$$$

 

그렇게 변형된 함수의 내적(inner product)과 원래 두 벡터의 내적의 값은 같다. 이를 두고 유니타리 변환은 내적을 보존(preserve)한다고 표현한다.

$$\left< V_2^{\prime} \right| \left. V_1^{\prime} \right> = \left< V_2 \right| U^{\dagger} U \left| V_1 \right> = \left< V_2 \right| \left. V_1 \right> \tag{9}$$

 

 

유니타리 행렬이 양자역학에서 중요한 의미를 가지는 이유는 바로 유니타리 행렬이 각운동량 연산자(angular momentum operator)의 일반화된 형태이기 때문이다.

 

어떤 벡터를 회전시킨다고 생각해보자. 이 경우 벡터의 방향만 바뀌고 크기나 내적들은 그대로 보존이 된다. 실제로 식 (9)로 표현되는 성질이 바로 이러한 특성을 나타내는 식이 된다.

 

고전 역학(classicak dynamics)에서 어떤 실벡터(real vector)의 회전의 경우 수직 행렬(orthogonal matrix)를 통해서 회전이 표현이 가능하지만 양자역학에서 다루는 벡터는 허수 성분을 가질 수 있기 때문에 수직 행렬만으론 회전을 다 표현할 수 없다.

 

따라서 성분이 실수로 이루어진 수직 행렬에서 허수로 이루어진 영역까지 확장시킨 경우를 유니타리 변환이 된다. 원래 수직 행렬은 $M = M^T$라는 조건만 요구했지만 유니타리 행렬에선 켤레 복소수(complex conjugate)를 시킬 것을 추가로 요구한다. 정확히는 켤레 복소수 조건이 있어야 식 (9)에서와 같이 내적이 보존된다.

 

 

나중에 다루겠지만 가장 대표적인 예시를 하나 보자. 양자역학에서 어떤 $a$축을 중심으로 각도 $phi$만큼 회전하는 경우 해당 연산자는 다음과 같은 형태를 가진다고 알려져 있다.

$$R_a (phi) = e^{- \frac{i}{\hbar} J_a \phi} \tag{10}$$

 

여기서 나타나는 $J_a$를 각운동량 연산자라고 부른다. 특히 이 각운동량 연산자는 리 대수(Lie algebra)라는 독특한 대수 관계를 가지고 있는데 이러한 리 대수 관계를 가지는 가장 대표적인 $2 \times 2$ 행렬 형태의 각운동량 연산자가 바로 스핀 연산자(spin operator)이다.

 

스핀 연산자 또는 파울리 스핀 행렬(Pauli's spin matrix)는 다음과 같이 주어진다.

$$\begin{split} \sigma_x = & \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \sigma_y = & \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \\ \sigma_z = & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{split} \tag{11}$$

 

지금 주어진 세 행렬들을 보면 모두 유니타리 행렬임을 알 수 있다. $\sigma_x$나 $\sigma_z$는 대칭 행렬(symmetric matrix)이면서 동시에 실수로만 이루어져 있기 때문에 당연히 유니타리 행렬이 되며 $\sigma_y$도 유니타리 행렬이 됨은 쉽게 알 수 있다.

 

동시에 이 행렬들은 양자역학에서 사용되는 연산자이기 때문에 에르미트 행렬(Hermitian matrix)이어야 한다. 실제로 세 행렬 모두 에르미트 행렬이 됨은 지난 글에서 다룬 바 있었다.

 

실제로 에르미트이면서 동시에 유니타리 행렬이기 때문에 해당 세 행렬은 양자역학에서 기저(basis)로서 정말 많이 사용되는 행렬에 속한다.

 

 

행렬의 기초 - 전치 행렬의 성질과 수직 행렬

에르미트 연산자와 반에르미트 연산자