왜 확률이었는가? 보른의 확률 해석

 

양자역학의 가장 난해한 점을 꼽으라면 아마 확률 해석일 것이다.

 

고등학교 화학 시간만 하더라도 원자의 모형을 설명할 때 오비탈(orbital) 이론을 가르치는데 문제는 갑자기 이전 모형까진 전부 공처럼 생각하던 전자가 오비탈 이론에선 확률 구름으로 존재한다는 점이다.

 

이는 보른(Born)의 확률 해석이 반영된 결과물인데 사실 이러한 가설에 대해 처음부터 찬성한 사람은 적었다. 실제로 격렬한 반대가 있었던 가설이지만 결국 현대 양자역학의 정설이 되어버렸다.

 

오늘 다룰 얘기는 "정말 확률인가?", "이 이론이 옳은가?", "입자의 확률이란 것이 무슨 소리인가?"에 대한 얘기가 아니다. 왜 보른은 이러한 가설을 제시했으며 이 가설이 정확히 지칭하는 것에 대해 다뤄볼 예정이다.

 

 

이전 글에서 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)을 유도했었다. 내 유도 과정을 봐도 알겠지만 거기에는 파동 함수(wave function)가 정말 갑작스럽게 들어온다.

 

결국 슈뢰딩거 방정식은 파동 함수 \( \psi \)의 시간에 대한 변화를 구해 물리적인 상황을 표현하는 방정식이다. 이는 파동 함수가 입자 파동의 상태를 대표하기 때문인데 문제는 파동 함수의 물리학적인 의미에 대해서였다.

 

기본적으로 입자는 점입자를 생각한다. 어떤 수학적인 점을 점유하고 있는 대상으로 모형을 구성하는데 파동 함수는 공간 전체에 걸쳐서 연속적으로 분포해있다. 대체 어떻게 이런 존재가 입자를 표현할 수 있을까?

 

막스 보른

 

이 문제에 대해선 실제로 여러 의견이 있었지만 그 중 보른의 해석에 대해 얘기해보자.

 

맨처음에 보른이 관심을 가진 문제는 산란(scattering) 문제였다. 어떤 큰 대상에 입자들이 충돌할 경우 산산히 흩어지는 문제로 '러더퍼드(Rutherford)의 알파 입자 산란 실험'이 대표적인 산란 문제에 속한다.

 

이 산란 이론은 난이도가 좀 있는 편이기에 기회가 되면 자세히 기술하기로 하고 보른은 고전적인 결과를 슈뢰딩거 방정식을 이용해서 다시 구하려고 했다.

 

보른이 구한 결과만 보면 파동 함수의 절대값(absolute value)의 제곱이 입자의 산란 단면적과 관련이 있다.

$$ |\psi|^2 dV = \frac{|A|^2 |f(\theta)|^2}{r^2} (v dt) r^2 d \Omega \tag{1}$$

 

여기서 \( f (\theta) \)는 산란 진폭(scattering amplitude)를 의미한다.

$$ |f(\theta)|^2 = \frac{d \sigma}{d \Omega} \tag{2}$$

이때 \( \sigma \)는 입자가 산란된 입자가 지나가는 면적을 의미한다.

 

 

 

여기서 보른이 깨달은 중대한 사실은 슈뢰딩거 방정식은 어떻게 입자가 산란되는지 정확히 예측할 수 없다는 사실이었다. 오히려 산란될 확률을 알려줬다. 

 

정확히는 산란 진폭 \( f(\theta) \)의 의미가 특정 각도로 입자가 산란될 확률이다.

 

이런 점에서 보른은 파동 함수의 절대값의 제곱이 입자의 확률 밀도(probability density)라는 가설을 제안했다. 보른의 해석에 따르면 \( | \psi (\vec{x}, t)|^2 \)은 위치 \( x \), 시간 \( t \)인 순간에 입자를 발견할 확률이다.

 

더 정확하게는

$$ \int^a_b | \psi(x, t) |^2 dx = P([a, b], t) \tag{3}$$

여기서 \( P([a, b], t) \)는 점 \( a \)와 \( b \) 사이에서 시간 \( t \)에 입자를 발견할 확률을 의미한다.

 

이러한 확률적인 해석은 양자역학이 일종의 불확정성(uncertainty)를 내포하고 있음을 의미한다. 즉, 방정식의 모든 요소가 알려져 있다고 하더라도 우리는 정확한 결과가 아닌 확률을 구할 수 밖에 없다.