라그랑주 역학 - 라그랑지안

지난번 달랑베르 원리(D'Alembert's principle)를 통해 우리가 최소화해야하는 양 라그랑지안(Lagrangian)을 유도해보도록 하겠다.

 

먼저 달랑베르 원리에서 만든 일반화된 좌표(generalized coordinates)를 이용해서 앞서 사용했던 가상 변위(virtual displacement)를 정의할 때 사용한 좌표계를 바꿔 쓰자.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\overrightarrow{r}}_i={\overrightarrow{r}}_i(q_1,q_2,\cdots ,q_n;t)\end{array}$$

 

이 좌표계에서의 속도는 연쇄 법칙(chain rule)을 이용해서 구할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\overrightarrow{v}}_i=\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}=\sum _k\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}{\dot{q}}_k+\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial t}\end{array}$$

 

가상 변위는 변분법(calculus of variations)을 이용해서 구할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{ccc}\delta {\overrightarrow{r}}_i& =& {\overrightarrow{r}}_i(q_1+\delta q_1,q_2+\delta q_2,\cdots ,q_n+\delta q_n;t)-{\overrightarrow{r}}_i(q_1,q_2,\cdots ,q_n;t)\\ & =& {\overrightarrow{r}}_i(q_1,q_2,\cdots ,q_n;t)+\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_1}\delta q_1+\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_2}\delta q_2+\cdots +\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_n}\delta q_n-{\overrightarrow{r}}_i(q_1,q_2,\cdots ,q_n;t)\\ & =& \sum _{k=1}^n\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}\delta q_k\end{array}\end{array}$$

여기서 테일러 전개(Taylor expansion)이 사용됐다.

 

 

이제 가상 일(virtual work)를 식 (3)의 결과를 이용해서 바꿔 써 보자.

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \sum _i{\overrightarrow{F}}_i\delta {\overrightarrow{r}}_i=\sum _i\sum _k{\overrightarrow{F}}_i\cdot \frac{\overrightarrow{\partial {\overrightarrow{r}}_i}}{\partial q_k}\delta q_k=\sum _k{Q}_k\delta q_k\end{array}$$

 

식 (4)에서 새롭게 나타난 $Q_k$를 일반화된 힘(generalized force)라고 부른다.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& Q_k=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i\cdot \frac{{\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}\end{array}$$

 

이번엔 잠시 달랑베르 원리의 식을 가져와서 일반화된 좌표로 바꿔써보자.

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \sum _i({\overrightarrow{F}}_i^{(a)}-{\dot{\overrightarrow{p}}}_i)\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_i=\sum _i\sum _k({\overrightarrow{F}}_i^{(a)}-{\dot{\overrightarrow{p}}}_i)\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}\delta q_k=0\end{array}$$

 

식 (4)를 식 (6)에 대입하자. 이때 달랑베르 원리에서 제약 조건(constraint condition)에 의한 힘은 일을 하지 않음을 상기하자.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \sum _k{Q}_k\delta q_k-\sum _i{\dot{\overrightarrow{p}}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_i=0\end{array}$$

 

 

이제 식 (7)의 좌변의 두 번째 항을 정리해보자. 먼저 뉴턴 제 2법칙(Newton's 2nd law)을 적용시킨 뒤 식 (3)을 대입하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \sum _i{\dot{\overrightarrow{p}}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_i=\sum _i{m}_i{\ddot{\overrightarrow{r}}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_i=\sum _i\sum _k{m}_i{\ddot{\overrightarrow{r}}}_i\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}\delta q_k\end{array}$$

 

이번엔 다음과 같은 미분을 생각해보자.

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \frac{d}{dt}(m_i{\dot{\overrightarrow{r}}}_i\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k})=m_i{\ddot{\overrightarrow{r}}}_i\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}+m_i{\dot{\overrightarrow{r}}}_i\cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}\right)\end{array}$$

 

식 (9)를 식 (8)에 적용시키면 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \sum _i{\dot{\overrightarrow{p}}}_i\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_i=\sum _i\sum _k[\frac{d}{dt}(m_i{\dot{\overrightarrow{r}}}_i\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k})-m_i{\dot{\overrightarrow{r}}}_i\cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}\right)]\delta q_k\end{array}$$

 

마지막으로 식 (10)을 식 (7)에다가 대입하자.

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \sum _k[Q_k-\sum _i\{\frac{d}{dt}(m_i{\dot{\overrightarrow{r}}}_i\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k})-m_i{\dot{\overrightarrow{r}}}_i\cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}\right)\}]\delta q_k=0\end{array}$$

 

 

이번엔 식 (2)를 변형해보자. 이유는 식 (11)에 있는 시간 미분 항을 처리해야 하기 때문이다.

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}\right)=\frac{\partial }{\partial q_k}\left(\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}\right)=\frac{\partial {\overrightarrow{v}}_i}{\partial q_k}\end{array}$$

 

이번엔 다음과 같은 변형을 고려해보자.

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \frac{\partial {\overrightarrow{v}}_i}{\partial {\dot{q}}_k}=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_k}(\sum _k\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}{\dot{q}}_k+\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial t})=\frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}\end{array}$$

 

식 (12)와 (13)을 식 (11)에 반영하면

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \sum _k[Q_k-\sum _i\{\frac{d}{dt}(m_i{\overrightarrow{v}}_i\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{v}}_i}{\partial {\dot{q}}_k})-m_i{\overrightarrow{v}}_i\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{v}}_i}{\partial q_k}\}]\delta q_k=0\end{array}$$

 

마지막으로 다음과 같은 미분까지 고려해보자. $q_k$를 ${\dot{q}}_k$로 바꿔서 똑같은 식을 생각할 수도 있다.

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \frac{\partial }{\partial q_k}({\overrightarrow{v}}_i\cdot {\overrightarrow{v}}_i)=\frac{\partial {\overrightarrow{v}}_i}{\partial q_k}\cdot {\overrightarrow{v}}_i+{\overrightarrow{v}}_i\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{v}}_i}{\partial q_k}=2{\overrightarrow{v}}_i\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{v}}_i}{\partial q_k}\end{array}$$

 

식 (15)의 미분 공식을 응용하면 식 (14)는 최종적을 다음과 같이 쓰인다.

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \sum _k[Q_k-\sum _i\{\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_k}\left(\frac{1}{2}m{v}_i^2\right)-\frac{\partial }{\partial q_k}\left(\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2\right)\}]\delta q_k=0\end{array}$$

 

 

식 (16)에서 운동 에너지(kinetic energy) 항이 보인다. 모든 입자들의 운동 에너지를 $T_i=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$라고 쓰면

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \sum _k[Q_k-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}\right)+\frac{\partial T}{\partial q_k}]\delta q_k=0\end{array}$$

 

홀로노믹(holonomic) 제약 조건을 이용해서 일반화된 좌표를 서로 독립적인 상태로 만들고 나면, 예를들어 $q_1$ 좌표 성분이 $q_2$와 어떤 관계성이 없다면 식 (17)을 만족하는 방법은 다음과 같은 경우 밖에 없다.

$$\begin{array}{}\text{(18)}& Q_k=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_k}\end{array}$$

 

 

이번엔 퍼텐셜 에너지(potential energy)와 힘의 관계를 살펴보자.

$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\overrightarrow{F}}_i=-{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_{i}V\end{array}$$

 

식 (4)의 일반화된 힘의 정의에 식 (19)를 대입하면

$$\begin{array}{}\text{(20)}& Q_k=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}=-\sum _i{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}_{i}V\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}=-i\sum _i\frac{\partial V}{\partial {\overrightarrow{r}}_i}\cdot \frac{\partial {\overrightarrow{r}}_i}{\partial q_k}=-\frac{\partial V}{\partial q_k}\end{array}$$

 

이를 식 (18)에 적용시키면

$$\begin{array}{}\text{(21)}& -\frac{\partial V}{\partial q_k}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_k}\end{array}$$

 

식 (21)을 변형시켜서 다음과 같이 정리하자.

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_k}\right)-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_k}\end{array}$$

 

퍼텐셜 에너지는 일반적으로 속도에 의존하지 않는다. 리에나르-비케르트 전위(Liénard-Wiechert potential)와 같은 너무 특이한 경우는 제외해보자. 그렇다면 식 (22)에 $\frac{\partial V}{\partial {\dot{q}}_k}$를 추가해도 어차피 이 식은 값이 $0$이기 때문에 문제가 되지 않는다.

 

 

식 (22)를 최종적으로 정리하면 다음과 같은 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)의 형태로 바꿀 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(23)}& \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial (T-V)}{\partial {\dot{q}}_k}\right)-\frac{\partial (T-V)}{\partial q_k}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\end{array}$$

 

식 (23)의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 함수의 임계점(stationary point)을 찾는 문제라고 볼 수 있다. 이 값을 작용(action)이라고 부른다.

$$\begin{array}{}\text{(24)}& S[q,\dot{q};t]=\int Ldt\end{array}$$

 

즉, 우리는 자연이 생각할 수 있는 모든 경로 중에서 작용을 최소화하는 경로를 따라간다는 해밀턴(Hamilton)의 최소 작용 원리(principle of least action)를 얻은 것이다.

 

우리가 오일러-라그랑주 방정식에서 사용한 새로운 물리량 $L$을 라그랑지안(Lagrangian)이라 부른다. 우리가 다루는 문제의 라그랑지안을 구해서 식 (23)에 적용시켜 방정식을 얻으면 이 방정식은 최소 작용 원리를 잘 만족하게 된다.

$$\begin{array}{}\text{(25)}& L=T-V\end{array}$$

 

 

라그랑주 역학 - 달랑베르 원리

변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : 오일러-라그랑주 방정식 유도

 

변분법과 오일러-라그랑주 방정식 : Introduction