라그랑주 역학 - 달랑베르 원리

선행해야 할 내용

뉴턴의 상대성... 갈릴레이 변환과 기준틀이란?

라그랑주 역학 - 일반화된 좌표와 제약 조건

 

우리는 계속해서 물리적 상황이 어떤 값에 최적화된 다시 말해서 그 값을 최소화 시키는 경로를 그리며 진행되며 어떻게 최소화하는 가에 대해서 수학적 기법도 다뤄왔다.

 

그러나 어떤 값을 최소화 시켜야 하는가에 대해선 다뤄보지 못했다. 이번엔 과연 어떤 값을 최소화 시키는지 그 값을 구해보려고 한다.  이제 실제 문제에서 이 값을 찾아서 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)에 대입해 최소화시키면 물리 문제를 해결 할 수 있다.

 

 

먼저 원래 물체가 그리는 경로에서 아주 조금 변형시켜보자. 이때 이 변위가 힘(force)과 제약 조건(constraints condition)을 변화시키지 않는다고 생각하자. 이런 특수한 조건 때문에 이 변화된 거리를 가상 변위(virtual displacement)라고 부른다. 가상 변위를 \( \delta \vec{r}_i \)라고 쓰자.

 

이번엔 우리가 다루는 계가 다체계(many body)이며 평형(equilibrium) 상태에 있다고 가정하자. 그렇다면 각 입자에 작용하는 총 힘(total force)은 \( 0 \)이 된다. 따라서 \( i \)번째 입자에 대해 방정식을 짜면 다음과 같다.

$$ \vec{F}_i = 0 \tag{1}$$

 

이제 가상 변위를 이용해서 가상 일(virtual work)을 \( \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i\)로 정의할 수 있다. 전체 입자들의 가상 일의 합은 \( 0 \)이 된다.

$$ \sum_i \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i = 0 \tag{2}$$

 

 

이번엔 물체의 총 힘을 물체에 작용하는 힘 \( \vec{F}_i^{(a)}\)와 제약 조건에 의한 힘 \( \vec{F}_i^{(c)} \)로 분해해보자.

$$ \vec{F}_i = \vec{F}_i^{(a)} + \vec{F}_i^{(c)} \tag{3}$$

 

이를 이용하면 식 (2)는 다음과 같이 쓰인다.

$$ \sum_i \vec{F}_i^{(a)} \cdot \delta \vec{r}_i + \sum_i \vec{F}_i^{(c)} \cdot \delta \vec{r}_i = 0 \tag{4}$$

 

이제 제약 조건에 의한 힘이 만드는 가상 일의 총 합이 \( 0 \)이라고 생각하자. 왜냐하면 제약 조건은 특정 좌표 방향으로 물체를 움직이지 못하게 만들기 때문에 물체가 움직이는 표면에 수직한 방향으로 \(F_i^{(c)}\)를 준다.

 

그런데 가상 변위는 해당 표면에서 그리는 궤적에서 살짝 움직이는 상황이기 때문에 \( F_i^{(c)} \)와 수직이다. 따라서 내적(inner product)의 계산법에 따라 다음과 같다.

$$ F_i^{(c)} \cdot \delta \vec{r}_i  = 0 \tag{5}$$

 

좋은 예시로 수직항력(normal force)를 생각해보자. 책상이라는 제약 조건 때문에 더는 아래로 내려갈 수 없는 물체의 경우 제약 조건 때문에 수직항력이 생긴다.

 

그리고 이 제약 조건 때문에 책상 위 밖에 움직일 수 밖에 없고  수직항력은 물체의 궤적에 대해 항상 수직일 수 밖에 없다. 따라서 식 (5)가 잘 성립한다고 볼 수 있다.

 

최종적으로 식 (4)는 다음과 같이 정리된다. 물체에 작용하는 힘이 만드는 가상 일의 총합은 \( 0 \)이 된다. 이를 가상 일 원리(principle of virtual work)라고 한다.

$$\sum_i \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i = 0 \tag{6}$$

 

 

일반적인 경우 식 (6)에서 \( \vec{F}^{(a)}_i \neq 0\)이다. 그럼에도 불구하고 식 (6)이 성립할 수 있는 이유는 각 입자들의 가상 변위가 제약 조건에 의해 서로 상관관계를 가지고 있기 때문이다.

 

다시 말해서 입자들의 가상 변위가 제약 조건 때문에 서로 영향을 끼치고 그 영향으로 식 (6)에서 가상 일들이 상쇄될 수 있다는 뜻이다. 그러나 이런 경우의 문제 계산은 당연하게도 아주 어려운 문제가 될 것이다.

 

그래서 적당한 변환(transform)을 취해서 식 (6)을 일반화된 좌표(generalized coordinate)로 바꿀 필요가 있다. 이 좌표계에선 바뀐 방향을 따라선 서로 독립적인 운동을 하게 된다.

 

 

장 르 롱 달랑베

이 과정을 거치기 위해서 먼저 뉴턴 운동 제 2법칙(Newton's 2nd law of motion)을 살펴보자.

$$ \vec{F}_i = \dot{\vec{p}_i} \tag{7}$$

 

식 (7)에서 운동량(momentum)의 시간 미분항을 이항하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \vec{F}_i - \dot{\vec{p}_i} = 0 \tag{8}$$

 

식 (8)을 해석해보자. 먼저 식 (7)은 어떤 관성 좌표계에서 바라본 \( i \)번째 입자의 운동 방정식을 나타낸 것이다. 이와 별개로 입자들은 자신만의 좌표계를 가지고 있다. \( i \)번째 입자의 좌표계에선 \( i \)번째 입자는 가만히 있고 나머지 입자들이 움직이는 것으로 물리학을 기술할 수 있다.

 

또다른 가속 운동하는 물체를 관성 좌표계와 \( i \)번째 입자의 좌표계에서 기술하게 되면 서로의 관점에는 차이가 발생한다. 그래서 이러한 차이점을 해소해주기 위해서 가상의 힘 관성력(inertial force)를 도입해야 한다.

 

식 (8)에서 \( \dot{\vec{p}_i}\)가 바로 관성력이다. 식 (8)은 관성 좌표계에서 \( i \)번째 입자의 좌표계로 바꾼 상황이며 다른 입자에 대해서도 동일한 상황을 취해줄 수 있다.

 

 

이제 식 (8)을 식 (2)에다가 대입해주면

$$\sum_i \left( \vec{F}_i - \dot{\vec{p}_i} \right) \cdot \delta \vec{r}_i = 0 \tag{9}$$

 

그리고 힘을 다시 한번 물체에 작용하는 힘과 제약 조건에 의한 힘으로 분해한다.

$$ \sum_i \left( \vec{F}_i^{(a)} + \vec{F}_i^{(c)} - \dot{\vec{p}_i} \right) \cdot \delta \vec{r}_i = \sum_i \left( \vec{F}_i^{(a)} - \dot{\vec{p}_i} \right) \cdot \vec{r}_i + \sum_i \vec{F}_i^{(c)} \cdot \delta \vec{r}_i = 0 \tag{10}$$

 

그런데 제약 조건이 만드는 힘이 하는 일은 \( 0 \)이었으므로 최종적으로 다음과 같이 제약 조건에 의한 입자간의 상관관계를 없애고 각 입자들의 독립적인 좌표계로 이루어진 방정식을 세울 수 있다.

$$\sum_i \left( \vec{F}_i^{(a)} - \dot{\vec{p}_i} \right) = 0 \tag{11}$$

 

식 (11)을 달랑베르 원리(D'Alembert's principle)이라고 부른다. 이제 남은 일은 가상 변위를 일반화된 좌표계로 바꾸는 일이 남아있다. 이 작업마저 마친다면 모든 홀로노믹(holonomic) 제약 조건에서 자유로운 운동 방정식을 세울 수 있다.