자유 낙하 운동과 종단 속도

이번 글에서는 중력(gravitation) 아래에서 물체의 운동 방정식(equation of motion)을 세우고 이를 풀어보는 연습을 살펴보자.

 

먼저 질량(mass)이 $m$인 물체가 공기 저항을 받지 않는 경우, 자유 낙하 운동(free fall motion)을 고려해보자. 중력의 영향만 있으므로 뉴턴 제 2법칙(Newton's second law)에 의해 다음과 같이 운동 방정식을 세울 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=m\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}=m(\ddot{x}(t)\hat{x}+\ddot{y}(t)\hat{y}+\ddot{z}(t)\hat{z})=-mg\hat{z}\end{array}$$

여기서 $g$는 중력 가속도(gravitational acceleration)이다.

 

식 (1)일 성분 별로 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& m\frac{d^{2}x(t)}{d{t}^2}=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& m\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& m\frac{d^{2}z(t)}{d{t}^2}=-mg\end{array}$$

 

식 (2)와 (3)의 해는 일차 방정식 형태가 된다. 이때 계수들은 각각 초기 속도(initial velocity)와 초기 위치(initial position)가 된다.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& x(t)=v_x(0)t+x(0)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& y(t)=v_y(0)t+y(0)\end{array}$$

 

초기에 이 물체가 정지한 상태에서 출발했다고 가정하면 $v_x(0)=v_y(0)=0$이므로 식 (5)와 식 (6)은 초기 위치에서 변하지 않음을 알 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& x(t)=x(0)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& y(t)=y(0)\end{array}$$

 

 

이번엔 식 (4)를 풀어보자. 먼저 양변에서 질량을 소거해주고 양변을 시간에 대해서 적분(integral)해보자. 적분 상수(integral constant)를 초기 속도로 잡자. 그래야 물리적으로 말이 되는 해가 된다.

$$\begin{array}{}\text{(9)}& v_z(t)=\frac{dz(t)}{dt}=-gt+v_z(0)\end{array}$$

 

이번엔 식 (9)의 양변을 적분해서 해를 구해보자.

$$\begin{array}{}\text{(10)}& z(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_z(0)t+z(0)\end{array}$$

 

처음 시작할 때 정지해 있었으므로 초기 속도를 $0$으로 설정하고 초기 위치를 지표로부터 $h$만큼 떨어져 있었다고 하자. 그러면 다음과 같은 해가 나온다.

$$\begin{array}{}\text{(11)}& z(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2+h\end{array}$$

 

 

이번엔 초기 속도를 $-v_0\hat{z}$로 가지고 있으며 공기 저항이 걸리는 경우를 생각해보자. 경험적으로 공기 저항은 속도가 빠를 수록 크며 물체의 운동과 반대 방향으로 작용한다. 따라서 다음과 같은 저항력(resistance force) 항을 추가해야 한다.

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \overrightarrow{F}=-km\overrightarrow{v}\end{array}$$

 

이때 저항력의 방향은 속도의 방향과 정반대가 됨을 $(-)$ 부호를 통해 알 수 있다. $k$는 공기의 상황에 따라 달라지는 비례 상수(proportionality constant)이다.

 

초기 속도 조건을 생각해보면 이번에도 $x$, $y$ 방향은 식 (7)과 (8)에서 변하지 않고 $z$ 방향은 초기 속도에 의해 저항력 항이 추가로 붙는 새로운 운동 방정식을 따른다.

$$\begin{array}{}\text{(13)}& F_z=m\frac{d{v}_z(t)}{dt}=-mg-km{v}_z(t)\end{array}$$

 

 

식 (13)을 다음과 같이 정리해보자.

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \frac{1}{k{v}_z(t)+g}d{v}_z(t)=-dt\end{array}$$

 

이제 $v_z(t)$를 하나의 변수처럼 생각하고 적분해버리면 다음과 같은 방정식이 나온다.

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \frac{1}{k}\ln (k{v}_z(t)+g)=-t+C\end{array}$$

 

적분 상수는 아직까지 알 수 없다. 초기 속도 조건에 맞춰주기 위해서 식 (15)를 속도에 대한 식으로 바꿔보자.

$$\begin{array}{}\text{(16)}& v_z(t)=-\frac{g}{k}+\frac{1}{k}{e}^{-kt+Ck}\end{array}$$

 

$v_z(0)=-v_0$로 하기로 했으므로 이를 식 (16)에 반영시켜 보면

$$\begin{array}{}\text{(17)}& v_z(0)=-v_0=-\frac{g}{k}+e^{Ck}\end{array}$$

 

따라서 적분 상수 항을 간단하게 바꿔 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(18)}& e^{Ck}=-v_0+\frac{g}{k}\end{array}$$

 

식 (18)을 식 (16)에 반영시켜 주면 우리가 아는 물리량으로 방정식이 싹 바뀌게 된다.

$$\begin{array}{}\text{(19)}& v_z(t)=\frac{dz(t)}{dt}=-\frac{g}{k}+e^{Ck}{e}^{-kt}=-\frac{g}{k}+\frac{g-k{v}_0}{k}{e}^{-kt}\end{array}$$

 

 

이번엔 식 (19)를 적분해보자. 그러면 위치를 구할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(20)}& z(t)=-\frac{g}{k}t-\frac{g-k{v}_0}{k^2}{e}^{-kt}+C^{\prime }\end{array}$$

 

이번에 초기 위치가 $h$였다는 것을 이용해서 적분 상수를 찾아주자.

$$\begin{array}{}\text{(21)}& z(0)=h=-\frac{g-k{v}_0}{k^2}+C^{\prime }\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(22)}& C^{\prime }=h+\frac{g-k{v}_0}{k^2}\end{array}$$

 

이제 식 (22)에서 찾은 적분 상수를 식 (20)에 적용하면

$$\begin{array}{}\text{(23)}& z(t)=-\frac{g}{k}t+\frac{g-k{v}_0}{k^2}(1-e^{-kt})+h\end{array}$$

 

 

식 (19)에서 시간이 충분히 오래 지난 경우, $t\to \mathrm{\infty }$인 극한을 취해보자. 이때 속도는 특정 상수값으로 수렴하는데 그 값을 종단 속도(terminal velocity)라고 부른다.

$$\begin{array}{}\text{(24)}& v_t=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{v}_z(t)=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}(-\frac{g}{k}+\frac{g-k{v}_0}{k}{e}^{-kt})=-\frac{g}{k}\end{array}$$

 

종단 속도를 이용해서 식 (19)를 바꿔 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{array}{}\text{(24)}& v_z(t)=v_t-(v_t+v_0)e^{-kt}\end{array}$$

이때 정의에 의해서 $v_t<0$임을 상기하자.

 

 

식 (9)와 비교해보면 자유 낙하 운동의 경우 낙하하는 물체의 속도는 시간이 지날 수록 무한 빨라진다. 하지만 공기 저항까지 고려할 경우 물체가 도달할 수 있는 속도에는 한계가 존재하고 그 속도를 종단 속도라고 한다.

 

종단 속도 $v_t=-1$로 잡았을 때 초기 속도 $v_0$의 조건에 따른 그래프는 다음과 같이 나타난다.

v_t = -1로 잡은 그래프