수열과 급수

 

이번 글에서는 대부분의 수리 물리학 교재에서 첫 장으로 설명하는 수열과 급수에 대해서 다뤄보고자 한다. 이후 한동안은 다른 책들에서와 같이 급수를 이용한 함수 분석법을 다뤄볼 예정이다.

 

어떤 자연수가 실수에 대응되는 함수를 수열(sequence)이라고 한다.

$$ f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}  \tag{1} $$

 

이때 임의의 자연수 \( n \)에 대응되는 함수값을 \( f(n) = x_n \)으로 표현하고 이를 수열의 \( n \)번째 항이라고 한다.

 

 

\( n \)을 무한히 키워가면서 수열의 합을 생각할 수 있고 이를 급수(series)라고 정의한다.

$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} x_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \cdots \tag{2} $$

 

무한히 더하지 말고 적당한 \( n \)번째 수열에서 멈추는 경우를 생각해 볼 수 있는데 \( n \)번째 까지의 합을 부분합(partial sum)이라고 정의한다.

$$ s_n = x_1 + x_2 + \cdots + x_n \tag{3}$$

 

 

부분합에 \( \lim_{n \rightarrow \infty} \)인 극한을 취했을 때 특정 숫자 $a$로 수렴한다면 원래 급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} x_n\)가 \(a\)로 수렴한다고 한다.

$$ \sum_{n}^{\infty} x_n = a \tag{4}$$

 

수열이 계속해서 커지거나 감소한다면 급수가 발산함은 당연하다. 따라서 급수가 수렴하기 위해선 \(\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0\)이라는 조건이 필요하다.

 

 

수렴하지 않는 경우는 발산이라고 하며 특히 진동하는 급수의 경우 발산한다고도 말한다.

진동하는 급수의 예 : $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n = (-1) + 1 + (-1) + \cdots \tag{5}$$

 

급수를 이용하는 방법은 물리학자들이 가장 많이 이용하는 방법 중 하나에 속한다. 급수를 이용하면 다루는 함수를 분석하거나 수치적인 해석 방법이 가능하다.

 

특히 많이 사용되는 급수들로 기하 급수, 테일러 급수, 조화 급수 등이 있다.

 

 

기하 급수 : $$\sum_{n=1}^{\infty} a r^n = a(1 + r + r^2 + \cdots) = \frac{a}{1-r} \tag{6}$$

조화 급수 : $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots \tag{7}$$

 

 

이외에도 리만 제타 함수와 같이 급수 형태로 정의되는 함수들도 있으며 특히 베셀 함수, 르장드르 함수 등 선형 미분 방정식의 해 중 초월함수로 표현되지 못하는 해들을 표현하는데 사용된다.

 

리만 제타 함수 : $$ \zeta(p) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \tag{8} $$

 

중요한 급수들에 대해서는 추후 다뤄볼 예정이다.