급수의 수렴과 발산 판정법 (3)

 

1. 코시 응집 판정법(Cauchy condensation test)

 

코시의 응집 판정법은 단조 감소 수열의 경우 몇 개의 항의 특성을 이용해서 수렴과 발산을 판정하는 방법이다. 대표적으로 다음과 같은 조화 급수(harmonic series)를 증명하는데 쓰인다. 아니 오히려 조화 급수 때문에 유명한 판정법일 수도 있다.

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \text{diverge} \tag{1}$$

 

다음과 같이 급수를 나열한 식을 생각해보자.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 \cdots \tag{2}$$

 

이때 2의 제곱수로 이루어진 항을 이용해 다음과 같은 구성의 급수를 추가로 생각해 볼 수 있다.

$$ a_1 + a_2 + a_2 + a_4 + a_4 + a_4 + a_4 + \cdots \tag{3}$$

 

식 (3)에 나오는 급수가 발산한다면 식 (2)의 급수가 발산하고 식 (3)의 급수가 수렴하면 마찬가지로 수렴한다.

 

다음과 같은 세 부분합을 생각해보자.
$$ A_n = \sum_{k=1}^{2^{n+1} - 1} a_k = a_1 + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6 + a_7) + \cdots \tag{4}$$
$$ B_n = \sum_{k=0}^{n} 2^k a_{2^k} = a_1 + (a_2 + a_2) + (a_4 + a_4 + a_4 + a_4) + \cdots \tag{5}$$
$$ C_n = 2 \sum_{k=1}^{2^n} a_k = (a_1 + a_1) + (a_2 + a_2) + (a_3 + a_3 + a_4 + a_4) + \cdots \tag{6}$$

단조 감소 수열의 경우 \( a_n > a_{n+1 }\)이므로 식 (4), (5), (6)에서 같은 개수의 묶음끼리 대소 관계를 비교해보면 다음과 같은 부등식이 성립한다는 것을 알 수 있다.
$$ A_n \leq B_n \leq C_n \tag{7}$$

이제 부등식의 양 변에 극한을 취하게 되면 다음과 같은 부등식이 만들어진다.
$$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k \leq \sum_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k} \leq 2 \sum_{k=1}^{\infty} a_k \tag{8}$$

식 (8)의 부등식에서 \( \sum_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k} \)가 발산한다면 \( 2 \sum_{k=1}^{\infty} a_k \)가 발산함을 알 수 있고 수렴의 경우는 반대로 \( \sum_{k=1}^{\infty} a_k \)가 수렴함을 통해 알 수 있다.

 

 

2. 라베 판정법(Raabe test)

그림에서와 같이 빨간색으로 표현된 한 구간 내에서 어떤 수열의 최댓값들을 \( \sup a_n \), 최솟값(minimum)들을 \( \inf a_n\)이라 한다.

 

이러한 값들을 모아서 따로 수열을 만들 수 있고 그 수열의 극한을 취하는 것을 생각할 수 있는데 이를 상극한(upper limit, \(\limsup\))과 하극한(lower limit, \(\liminf\))이라고 부른다.

 

라베 판정법은 모든 항이 양수인 어떤 수열 \( a_n \)에 대해서 다음과 같은 양을 생각한다.

$$ S = \limsup_{n \rightarrow \infty} n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) \tag{9} $$

$$ T = \liminf_{n\ \rightarrow \infty} n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) \tag{10} $$

 

이때 \(S < 1 \)이라면 \( a_n \)의 급수는 발산하고 \( T > 1\)이라면 수렴한다.

 

먼저 다음과 같은 수열을 정의해보자.
$$b_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) \tag{11}$$

만약 \( \limsup b_n < 0 \)이라면 \( a_{n+1} > a_n \)이므로 따라서 \( a_n \)의 급수는 발산할 수 밖에 없다.

\( 0 \leq \limsup b_n <1 \)의 경우 \( \limsup b_n < B < 1 \)인 \( B \)가 존재한다. 따라서 다음과 같은 부등식이 성립한다.
$$ n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) \leq B \tag{12}$$

이 식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \frac{a_n}{a_{n+1}} \leq 1 + \frac{B}{n} \tag{13}$$

\( n \geq N \)을 만족하는 \( N \in \mathbb{N} \)에 대해 다음 부등식이 성립한다. 테일러 급수(Tayler series)로 전개해서 이해할 수도 있다.
$$ \frac{a_n}{a_{n+1}} \leq 1 + \frac{B}{n} \leq e^{\frac{B}{n}} \tag{14}$$
$$ a_{n+1} \geq a_n e^{- \frac{B}{n}} \geq a_N e^{- B \left( \frac{1}{N} + \cdots \frac{1}{n} \right)} \tag{15}$$

그런데 적분 판정법에서 다음과 같은 부등식을 세울 수 있다.
$$ \sum_{k=N}^{n} \frac{1}{k} \leq \ln n - \ln N + a_n = \ln n + C \tag{16}$$
여기서 나머지 항을 \( C \)인 임의의 상수로 만들었다.

따라서 다음과 같은 부등식이 성립한다.
$$ a_{n+1} \geq a_N e^{-B \ln n + C} = C a_N \left( \frac{1}{n} \right)^B \tag{17}$$

이때 \( B < 1\)일 경우 해당 급수는 발산함이 알려져있다.

반대의 경우는 결국 식 (17)의 경우에서 \( B > 1\)인 경우이고 이 경우는 수렴함이 알려져있다.