벡터, 정확히 알고 있나요? 수학적 정의

이번에는 잠시 벡터(vector)에 대한 설명을 진행하려고 한다. 현대 물리학에서 물리량들을 구분하는 가장 중요한 수학이기 때문에 잠시 정리를 해보려고 한다.

 

물리학에서 사용하는 벡터에는 위치(position), 속도(velocity), 가속도(acceleration), 힘(force), 운동량(momentum), 전기장(electric field), 자기장(magnetic field) 등이 있으며 이 외에도 셀 수 없이 많고 앞으로도 더 나올 것이다.

 

 

고등학교 수학 시간에는 벡터를 크기와 방향을 가지는 물리량이라고 설명한다. 물론 이 설명 방법은 벡터의 성질을 잘 담고 있긴 하다. 하지만 이는 유클리드 공간(Euclidean space)에서 성립하는 개념으로 유클리드 벡터(Euclidean vector)라고 한다.

 

한편 방향성은 없고 크기만 가지는 양을 스칼라(scalar)라고 한다. 길이(length), 속력(speed), 질량(mass), 에너지(energy), 전하량(electric charge) 등이 이에 속한다.

 

유클리드 벡터만 있더라도 고전 물리학은 잘 표현이 가능하지만 민코프스키 공간(Minkowski space)에서 표현되는 상대성 이론(relativistic theory)이나 힐베르트 공간(Hilbert space)에서 표현되는 양자역학(quantum mechanics)에선 다른 대상을 사용하곤 한다.

 

 

다시 말하자면 우리가 어떤 수학 공간을 잡느냐, 혹은 벡터 공간(vector space)를 잡느냐에 따라서 해당 공간의 원소인 벡터의 의미와 성질이 많이 달라질 수 있다.

 

그래서 먼저 벡터 공간에 대해 알아보자. 벡터 공간에 대한 수학적 정의는 다음과 같이 내려진다.

체(field) \(F\) 위에서 벡터 공간이란 두 개의 이항 연산(binary operation)과 집합(set) \(V\)로 정의되는 가환군(Abelian group)을 의미하며 8개의 공리(axiom)을 만족한다. 이때 \(V\)는 벡터공간, \(F\)를 \(V\)의 스칼라라고 한다.

 

 

먼저 정의를 살펴보면 체라는 것은 사칙연산(arithmetic)이 성립하고 우리가 일반적으로 실수(real number)의 계산에서 사용하던 계산 법칙들이 잘 성립하는 대수 구조(algebric structure)를 의미한다.

 

이항 연산이란 두 개의 원소를 이용해 하나의 결과를 얻어내는 연산들을 의미하며 두 숫자를 더해 다른 하나의 숫자를 만들어내는 덧셈(addition), 두 숫자를 곱해 또다른 하나의 숫자를 만들어내는 곱셈(multiplicaiton) 등이 잘 알려진 이항 연산이다.

 

가환군이란 교환 법칙(commutative property)가 성립하는 군(group)을 의미한다. 대표적으로 실수의 덧셈의 경우 \( a + b = b + a\)가 성립하므로 실수와 덧셈은 가환군을 이룬다.

 

본격적으로 대수학을 하려는 것이 아니기 때문에 간단한 설명만 덧붙였다. 결국 이제부터 말할 8개의 공리가 벡터 공간을 이루는데 중요한 요소가 되며 우리는 이 공리를 따르는 벡터 공간의 원소를 벡터라고 부른다.

 

 

표현법을 쓰자면 \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V \)이고 \( a, b \in F \)이다.

 

1. 벡터 덧셈에 대한 결합 법칙(associativity)

$$\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} \tag{1}$$

벡터의 덧셈은 연산 순서의 영향을 받지 않는다.

 

2. 벡터 덧셈에 대한 교환 볍칙(commutativity)

$$ \vec{v} + \vec{u} = \vec{u} + \vec{v} \tag{2}$$

벡터의 덧셈은 순서의 영향을 받지 않는다.

 

3. 벡터 덧셈에 대한 항등원(identity element)

$$ \exists \; \vec{0} \in V \quad \text{so that} \quad \vec{v} + \vec{0} = \vec{v} $$

이때 덧셈의 항등원 \(\vec{0}\)를 영벡터(zero vector)라고 부른다.

 

4. 벡터 덧셈에 대한 역원(inverse elements)

$$\forall \; \vec{v} \in V \quad \exists \; - \vec{v} \in V \quad \text{so that} \quad \vec{v} + (- \vec{v}) = \vec{0}$$

이때 덧셈의 항등원을 만들어내는 \( V \)의 원소를 덧셈의 역원이라 부르며 \( (- \vec{v}) \)로 표현한다. 따라서 뺄셈(substraction)은 덧셈에 대한 역원의 합으로 정의한다.

 

5. 스칼라 곱에 대한 결합 법칙

$$ a*(b \vec{u}) = (a * b) \vec{u} \tag{3}$$

여기서 스칼라 곱은 벡터에 임의의 스칼라를 곱하는 연산이다.

 

6. 스칼라 곱에 대한 항등원

$$ \exists 1 \in F \quad \text{so that} \quad 1\vec{v} = \vec{v} $$

이때 스칼라 \(1\)은 곱셈의 항등원이다.

 

7. 벡터 덧셈에 대한 스칼라 곱의 분배 법칙(distributivity)

$$ a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v} \tag{4}$$

 

8. 스칼라 덧셈에 대한 스칼라 곱의 분배 법칙

$$ (a + b) \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u} \tag{5}$$

 

 

위에 상기된 8개의 성질을 만족해야 벡터 공간이 만들어진다.

 

이때 스칼라 집합 \( F \)가 실수로 이루어져 있다면 실벡터 공간(real vector space) 복소수(complex number)로 이루어져 있다면 복소 벡터 공간(complex vector space)이다.

 

모든 글에서(양자역학에선 예외가 있긴 하다.) 문자 위에 화살표가 있다면 벡터를 의미하는 표시로 이해할 것이며 특별한 언급이 없다면 스칼라로 볼 것이다.

 

이것 말고도 다른 벡터의 성질들이 있지만 그것들은 다음 글에서 정리해보록 하겠다.